Лекция 7.

Вариационные и экстремальные подходы. Понятие функционала.

Большинство ММ строится на основе вариационной задачи или задачи на экстремум относительно реального объекта.

Межу вариационным и экстремальным подходом нет принципиальной разницы. Общим принципом является приравнивание нулю дифференциала исследуемой функции. Исходная задача может либо с самого начала иметь экстремальный характер, либо этот характер может ей намеренно придаваться, например, с помощью привлечения того или иного экстремального принципа.

В обоих случаях рассматривается соответствующий функционал на том или ином многообразии конкурирующих между собой объектов.

При экстремальном подходе эти объекты выбираются так, чтобы функционал принимал для них минимальное или максимальное значения.

При вариационном подходе руководствуются вариацией первого порядка, либо привлекается дополнительная вариация второго порядка.

Понятие функционала является расширением понятием функции, когда область определения Е есть множество объектов произвольной природы. Если каждому элементу f из Е ставится действительное число J, то говорят, что на множестве Е определен функционал J = J(f).

Например: вычислить функционал

, если y₁(x) = x, y₂(x) = e^x, y₃(x) = .

Здесь функционал задан, как определенный интеграл. Подставляя в это соотношение данные функции, получим числовые значения функционала.

При y₁(x) = x: ;

при y₂(x) = e²: ;

при y₃(x) = : .

Лекция 8.

Дискретное и непрерывное.

Исходная модель относительно среды (объекта) чаще всего берется непрерывной, т.е. принимается, что свойства среды описываются математическими полями.

При получении решения, в особенности приближенного, можно пойти двумя путями: дискретным и непрерывным.

Дискретный предполагает замену математического континиума на дискретную систему узлов сетки или участков, в каждом из которых приближенное решение может быть построено проще и эффективнее.

Непрерывный предполагает применение на математическом континиуме решения в виде суммы функционального ряда.

С развитием вычислительной техники большую эффективность на этапе построения решения показал дискретный подход. Поэтому в настоящее время он используется и на этапе построения исходной модели, которая приспособлена к решению без предварительного видоизменения. Такова ситуация при использовании метода конечных элементов.

С другой стороны иногда полезно приводить заведомо дискретную модель к непрерывной. Например, решетку с очень мелкой ячейкой можно представить в виде обычной пластины с жесткостными свойствами решетки. Или применение «размазывания» стрингерного набора в подкрепленной обшивке.

Аналогично можно поступить с распределением дискретных статистических единиц: людей в демографии, звезд в космологии и т.д.

На взаимосвязи дискретного и непрерывного выведены формулы вычисления центра тяжести тела, изобретен интеграл, как некоторая сумма участков, выведено понятие производной.

Лекция 9.

Устойчивость.

Свойство сохранения качественного содержания закономерностей (понятий и методов) при относительной малости изменения их количественных характеристик, а также достаточно малых возмущениях, называется устойчивостью. (Не следует путать с понятием «устойчивость конструкций»).

В настоящее время общее понятие устойчивости заменяется более специальными ее названиями: «чувствительность», «надежность», «стабильность» и т.д. Эти понятия определяют общее свойство изучаемых характеристик объектов – не слишком сильно изменяться при изменении некоторых параметров, влияющих на эти характеристики. Это определяет лишь самую общую схему рассуждений. В конкретных задачах помимо формирования подходящего варианта понятия устойчивости, основную трудность представляет математическое исследование переходного оператора, который чаще всего не задается в явном виде, а получается в результате решения уравнений. И хотя обычно нужен ответ в простой форме: «да» или «нет», получить его, минуя полное решение этих уравнений, весьма сложно.

Чтобы обойтись без такого решения, создан и непрерывно расширяется целый арсенал качественных методов, дающих достаточные условия устойчивости или неустойчивости. Эти методы широко известны в применении к теории устойчивости Ляпунова.

Казалось бы, интерес должны представлять только устойчивые движения, однако это не совсем так. Важно, чтобы движение было реализуемым практически. Оно может быть неустойчивым по Ляпунову, но влияние возмущения может столь медленно нарастать, что за интересующий нас интервал времени это возмущение остается незначительным. Например, в классическом балете неустойчивое по Ляпунову положение балерины, при котором она некоторое время стоит на оттянутом носке.