Лекция 5.

Выбор метода исследования.

В общем случае для получения решения некоторой инженерной задачи работает схема

(1)

Первый этап завершается записью исходных соотношений – уравнений задачи. Второй этап состоит в процессе решения задачи. Решение может быть получено в виде количественных результатов и/или качественных выводов.

После реализации данной схемы имеет место интерпретация результатов, затем, при необходимости, работа по данной схеме повторяется с уточнением модели или способа решения.

Внешнее и внутреннее правдоподобие.

Степень адекватности модели относительно реального объекта схемы (1) называется внешним правдоподобием. Оно характеризует соответствие ММ изучаемому реальному объекту по интересующим свойствам.

Внешнее правдоподобие зависит от того, насколько модель опробована, а также от опыта исследователя.

Степень ожидаемой точности решения по изучаемым характеристикам в модели относительно объекта называется внутренним правдоподобием (2 этап на схеме). С ним непосредственно связан выбор метода решения, а также различного рода переходы от грубого решения к более точному.

Соотношение между внешним и внутренним правдоподобием состоит в разумных требованиях к внешнему правдоподобию при принятом уровне внутреннего правдоподобия. Существует две точки зрения на это соотношение.

1. Ее придерживаются ученые-математики. Заключается в том, что, если прикладная задача сформулирована на математическом уровне, решать ее нужно «строго», на уровне «чистой математики». Другими словами, при данном внешнем правдоподобии внутренне правдоподобие должно быть максимальным.

2. Инженеры-исследователи. Заключается в учете того, насколько повышение трудозатрат на увеличение внутреннего правдоподобия окупится ожидаемым повышением итоговой адекватности решения.

Таким образом, в рассматриваемом соотношении для инженерной практике недопустимы следующие ситуации.

1. Исследователь стремится к максимальному внешнему правдоподобию, учитывая всевозможные параметры и связи, что приводит к весьма сложным системам уравнений.

2. Исследователь заинтересован лишь в математическом совершенстве модели и может значительно отклониться от реальной картины.

Обе эти ситуации опасны тем, что могут создать иллюзию точности построения и решения модели.

Лекция 6.

Прикидки в математической модели.

Прикидками называются сформулированные на математическом языке предварительные исследования модели и ее элементов. Эти исследования могут дать сведения о решении, об оценках сравнительных значений отдельных компонент, об упрощении решения. При таких исследованиях приобретаются навыки и интуиция, необходимые для построения модели.

Прикидки направлены на:

• упрощение уравнений задачи;

• уточнение их структуры в связи с методом решения;

• получение предварительных сведений о самом решении.

Основной метод упрощения уравнения основан на прикидке сравнительных величин отдельных его членов в изучаемом диапазоне изменения переменных и параметров задачи. После этого малые слагаемые можно либо отбросить, либо упростить по определенным формам. После решения упрощенного уравнения можно путем подстановки абсолютных значений проверить, в самом ли деле относительно малы отброшенные члены.

Аналогичным образом могут производиться и иные упрощения: замена нелинейной зависимости на линейную, разбиение диапазона изменения на части и т.д.

Выбор точности метода.

Является центральным в проблеме согласования уровней внешнего и внутреннего правдоподобия. Под ним следует понимать как степень точности исходных данных, так и степень адекватности ММ реальному объекту.

Если нет уверенности в адекватности модели, то рассматривают вопросы: определяющих параметров, иерархии переменных и числа степеней свободы в модели.

Чтобы не ошибиться в выборе метода, применяют искусство грубого решения, но с дальнейшим уточнением.

Часто встречаются случаи, когда к заведомо грубой модели применяются громоздкие вычислительные методы, дающие высокий уровень точности математического решения, однако конечные результаты оказываются весьма приближенными. Поэтому такие методы нецелесообразны.

При реализации численного решения с помощью ЭВМ для выбора метода часто применяется контроль точности сходимости полученных решений.