Министерство образования и науки Российской Федерации

Иркутский государственный технический университет

ФИЗИКО-ТЕХНИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ

Кафедра «Квантовой физики и нанотехнологий»

ЧИСЛЕННЫЕ МЕТОДЫ

Конспект лекций

Укрупненная группа направлений и специальностей	210000 – «Электронная техника, радиотехника, связь»
Направление подготовки:	210600 – «Нанотехнология»
Специальность:	210602 – «Наноматериалы» (НТ)

Иркутск 2011

Лекция 1.

Понятие модели.

В инженерно-математическом расчете можно выделить три этапа:

1. Математическая формулировка задачи или построение математической модели физики процесса.

2. Выбор метода исследования решения полученной математической задачи и проведение самого математического исследования (сюда же входят приближенные вычисления).

3. Анализ результатов, т.е. их интерпретация относительно реальной физики процесса.

Определение модели. Объект М является моделью объекта А относительно некоторой системы характеристик (свойств) С, если М строится (или выбирается) для имитации А по этим характеристикам.

Модель может быть построена как для изучения указанных характеристик (исследования модели), так и для их непосредственного использования (автопилот, протез, станок с ЧПУ и т.д.).

Поскольку модель строится для части свойств исходного объекта, то она оказывается в целом проще его. По характеру математические модели бывают физическими, экономическими, биологическими и т.д., т.е. они обладают свойствами универсальности, а именно – возможностью описания средствами математики любых объективных процессов.

В прикладном исследовании, в котором применяется математика, последовательно может строиться несколько моделей. Эти модели могут относиться к различным компонентам или аспектам изучаемого явления. Кроме того, могут возникать цепочки, в которых каждое последующее звено служит моделью для предыдущего. Например:

1) реальную конструкцию можно мысленно заменить на систему стержней, панелей, солидов;

2) затем записать систему уравнений, определяющих напряжения и деформации в этих стержнях;

3) далее упростить полученную систему уравнений, отбрасывая члены, которые представляются нам менее существенными и т.д;

4) взаимодействие между этими элементами.

В процессе исследования происходят переходы от одних моделей исследования к другим, а иногда – параллельное изучение нескольких моделей.

Исследование моделей тем успешнее, чем больше принято во внимание при ее построении основательных соображений о предполагаемых свойствах изучаемого объекта. Надо знать, что искать.

Требование адекватности ММ.

Это требование соответствия ММ реальному изучаемому объекту относительно выбранной системы его характеристик. Под этим понимается:

1) правильное качественное описание объекта по выбранным характеристикам;

2) правильное количественное описание объекта с некоторой разумной степенью точности.

Чаще говорят о степени адекватности модели, понимая под этим долю истинности модели относительно выбранной системы характеристик изучаемого объекта.

Нормированная степень адекватности принимает значения от 0 (полная неадекватность) до 1 (полная адекватность).

Адекватность модели следует рассматривать только по определенным признакам или характеристикам, принятым в данном исследовании за основные. Не существует «адекватности вообще», или полной адекватности, потому что это означало бы тождество между моделью и объектом. Если модель тождественна объекту, значит это не модель, а объект.

Требование простоты и оптимальности.

Чем выше степень адекватности модели, тем она менее проста и тем труднее ее анализ, и наоборот.

Адекватность (сложность) модели определяется числом факторов, которые могут так или иначе повлиять на изучаемые характеристики. Например, при составлении системы дифференциальных уравнений процесса (изучаемого объекта) выгоднее привлечь как можно больше параметров, что может привести к громоздким, порой необозримым системам уравнений, не поддающихся изучению.

В связи с этим возникает требование достаточной простоты по отношению к выбранной системе ее характеристик. Требование простоты противоположно требованию адекватности. Модель считается достаточно простой, но адекватной, если современные средства исследования (вычислительные, математические и др.) дают возможность провести с разумной точностью качественный и/или количественный анализ выбранных характеристик (свойств).

Для выбора компромисса между адекватностью и простотой модели часто применяется понятие «наглядности модели» или «выявляемости» в модели. Имеется в виду выявляемость интересующих характеристик в модели относительно объекта при определенном соотношении простоты и адекватности. Например, грубое разбиение модели на элементы (сетка) не учитывает концентрации напряжений. Наглядность чаще всего определяется опытом работы с моделью.

Лекция 2.

Феноменологические и полуэмпирические законы.

При построении ММ, т.е. при выводе системы дифференциальных уравнений, описывающих изучаемый объект, используются различные соотношения и законы. Часть их принимается без вывода, такие соотношения и законы являются постулатами модели. Большинство их «вытекает» из универсальных физических законов: законы сохранения энергии, законы Ньютона и др.

Однако, в большинстве случаев универсальных физических законов не хватает для построения ММ объекта. Более широко используются феноменологические законы. Они фундаментально и эмпирически хорошо обоснованы, но имеют ограниченную область действия, установленную эмпирически.

Классическим примером феноменологического закона является закон Гука.

При использовании феноменологического закона для построения ММ одним из центральных является вопрос о «попадании» изучаемого объекта в область действия этого закона, т.е. вопрос о самой возможности его применения.

Иногда эти вопросы оговариваются заранее: упругая модель, пластическая модель, упруго-пластическая модель.

в сущности любой фундаментальный закон феноменологичен, иначе человек уже давно абсолютно проник бы в природу вещей, что, в принципе, невозможно.

Еще менее универсальный характер имеют полуэмпирические законы (соотношения). Они устанавливаются в процессе обработки результатов натурного эксперимента. Область применения (определения) такого закона ограничена узкими рамками условий, при которых он был получен (например: геометрических форм, уровня температур и др.).

Возможность применения полуэмпирического закона за его рамками сопряжена с риском получения ошибочных данных. В этом случае необходим анализ применения полуэмпирического закона на том или ином этапе.

Допущения, принимаемые при построении модели, не ограничиваются применением феноменологических и полуэмпирических законов. Эти допущения могут относиться к геометрическим формам, к свойствам однородности, изотропии, упругости и т.д. К допущениям могут относиться рабочие гипотезы о них.

Лекция 3.

Определяющие параметры и число степеней свободы.

Повышение адекватности ММ часто связано с расширением набора учитываемых переменных (координат и параметров), имеющих количественный или качественный характер.

Расширение набора переменных, имеющих количественный характер, в общем случае связано с числом степеней свободы. Конечное число степеней свободы представляет собой идеализацию, т.к. в действительности объект имеет бесконечное число степеней свободы. Большое число степеней свободы делает модель громоздкой и сложной в анализе.

Уменьшение числа степеней свободы, не приводящее к заметной потере адекватности, требует большого опыта и оказывается весьма существенным для возможности решения задачи.

Пример. Модель Планеты Земля относительно Солнца имеет 6 степеней свободы. Если моделировать Землю с точки зрения геологии, то число степеней свободы будет иметь очень большое (может быть, бесконечное) значение.

Расширение набора переменных, имеющих качественный характер, зависит от определяющих параметров, которые являются главными при построении ММ.

Таким образом, выбор числа степеней свободы для реальной системы не имеет абсолютного характера. Он зависит от выбора модели, или от самой задачи, т.е. от: набора изучаемых параметров, необходимой точности результатов, типов возмущений и т.д.

Вопрос о разумном выборе числа степеней свободы наряду с определяющими параметрами сводится к специальному исследованию, называемому в практике исследованием точности сходимости. Когда на данной области определения при определенных условиях задачи меняется число степеней свободы и анализируется изменение искомых параметров.

Иерархия переменных.

Расширение математического описания объекта может происходить в двух направлениях.

1. За счет уточнения качественного поведения основных переменных, взятых в модели за исходные.

2. За счет привлечения новых переменных, качественно отличных от основных (которые уже были приняты во внимание в более грубом рассмотрении).

Эти привлекаемые переменные принадлежат к одному из классов:

1. «быстрые» переменные, характерная протяженность изменения которых во времени или пространстве (в зависимости от типа задачи) столь мала, что при грубом рассмотрении они принимаются во внимание только своими интегральными или осредненными характеристиками;

2. «медленные» переменные, характерная протяженность изменения которых столь велика, что при более грубом рассмотрении они считаются постоянными;

3. «основные» переменные, влияние которых на изучаемую характеристику системы столь мало, что при более грубом рассмотрении они игнорируются.

Деление переменных на «быстрые», «медленные» и «основные» не имеет абсолютного характера и зависит от постановки вопроса, т.е. от того, какие характеристики и в каком аспекте изучаются.

На примере рассмотрим процесс упруго-пластической деформации:

1. Объектом изучения выбирается распространение упругих волн, тогда пластическая деформация будет медленной.

2. Объектом изучения выбирается пластическая деформация, тогда упругие деформации будут быстрыми и в грубом приближении их влияние можно учесть с помощью осреднения.

Таким образом, выбор (иерархия) характеристик дает возможность как бы принять решения о выборе масштаба времени (быстрые, медленные, основные). Такое разделение по скорости протекания дает возможность изучать данные процессы в грубом приближении независимо одно от другого, что существенно упрощает задачу.

Однако, для введения уточняющих переменных исходная, грубая модель должна допускать возможность такого уточнения. Именно составление грубой адекватной модели, допускающей возможность уточнения, является решающим для математической модели.

Такое составление опирается на обсуждение физической картины изучаемого явления, применимости гипотез, грубых прикидок влияния различных факторов на изучаемые характеристики.

Оптимальной является ситуация, когда удается выделить по возможности наибольшее число основных факторов, влияние которых одного порядка и не слишком сложно описывается математически, тогда как влияние других факторов оказывается возможным учесть с помощью осредненных интегральных или «замороженных» характеристик.

Для многих задач грубой модели достаточно. Ее целесообразно строить даже в том случае, когда заведомо известно, что она недостаточна.

Применение грубой модели делает ее закономерности более прозрачными и позволяет более рационально организовать исследование полной модели. Например, при изучении движения планеты вокруг Солнца наиболее грубой моделью является материальная точка, движущаяся вокруг неподвижного материального тела. Более полной моделью будет модель, в которой центральное тело стало подвижным. Затем можно учесть влияние других планет, релятивистский эффект и т.д.