3.8. Обзор методов интегрирования

6

, где

– рациональная функция своих аргументов.

Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой , где – общий знаменатель дробей

, где – рациональная функция своих аргументов

Сводится к интегралу от рациональной дроби подстановкой

8

Подстановкой интеграл приводится к сумме двух интегралов:

9

, где – рациональная функция от и .

Приводится к интегралу от рациональной дроби подстановками Эйлера:

,

,

,

где – корень трехчлена

10

Универсальная подстановка .

Если ,

то подстановка .

Если ,

то подстановка .

Если ,

то подстановка

11

,

где – рациональные числа (интеграл от биноминального дифференциала).

Интеграл от биномиального дифференциала выражается через элементарные функции только при выполнении одного из следующих условий:

1) если – целое число,

2) если – целое число,

3) если – целое число.

1-й случай

а) если – целое положительное число, то нужно раскрыть скобки по биному Ньютона и вычислить интегралы от степеней;

б) если – целое отрицательное число, то подстановка , где – общий знаменатель дробей и , приводит к интегралу от рациональной дроби;

2-й случай

если – целое число, то применяется подстановка , где – знаменатель дроби ;

3-й случай

если – целое число, то применяется подстановка , где – знаменатель дроби

12

Необходимо преобразовать произведение тригонометрических функций в сумму или разность, пользуясь одной из следующих формул:

;

;

13

,

где и – целые числа.

Если – нечетное положительное, то подстановка .

Если – нечетное положительное, то подстановка .

Если – четное отрицательное, то подстановка .

Если – четные неотрицательные, то применяют формулы:

; .