3.6. Интегрирование дифференциального бинома

Выражение вида называется дифференциальным биномом, где – любые постоянные, а показатели – рациональные числа. Выясним случаи, когда эти выражения интегрируются в конечном виде.

Один такой случай ясен непосредственно: если – число целое,то рассматриваемое выражение относится к типу, описанному в подразд. 3.5. Пусть – дробное число, тогда, если через обозначить наименьшее общее кратное знаменателей дробей , то получим выражение вида , для рационализации которого достаточна подстановка .

Преобразуем исходное выражение с помощью подстановки . Тогда

.

Пусть , тогда будем иметь

                                                                               (3.2)

Если – целое число, то вновь приходим к выражению изученного вида. Действительно, если обозначить через знаменатель дроби , то преобразованное выражение имеет вид . Рационализации подынтегрального выражения можно достигнуть подстановкой или .

Перепишем второй из интегралов (3.2) так:

.

Если – целое число, то также имеем изученный случай: преобразованное выражение имеет вид , которое рационализируется подстановкой , или , где – знаменатель дроби .

Таким образом, оба интеграла (3.2) выражаются в конечном виде, если оказывается целым одно из чисел , , .

Эти случаи интегрируемости были известны еще Ньютону. Однако, лишь в середине XIX века Чебышев установил замечательный факт, что других случаев интегрируемости в конечном виде для дифференциальных биномов нет. Все три случая интегрируемости дифференциального бинома приведены в таблице подразд. 3.8. Рассмотрим примеры.

Примеры

1. Вычислить

Решение. Преобразуем

, здесь , , , так как – целое число, то имеем второй случай интегрируемости. Заметив, что – знаменатель дроби , положим , , , тогда

.

2. Вычислить .

Решение. Преобразуем , здесь , , – третий случай, так как и , тогда , отсюда , , так что и

Вернувшись к переменной , получим окончательный ответ:

.

3.7. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера

Переходим к рассмотрению очень важного класса интегралов вида .

Предполагаем, что квадратный трехчлен не имеет равных корней, так что корень из него не может быть заменен рациональным выражением. Изучим три подстановки, называемые подстановками Эйлера, с помощью которых можно достичь рационализации подынтегрального выражения.

Первая подстановка применима в случае, если . Тогда полагаем (можно ввести замену , то есть знак выбирается в зависимости от конкретного примера).

Возводя это равенство в квадрат, находим .

Отсюда

; ; .

Если полученные выражения подставить в подынтегральное выражение, то вопрос сведется к интегрированию рациональной функции от  . В результате, возвращаясь к , нужно будет положить .

Вторая подстановка применима, если . В этом случае полагаем (или ).

Если возвести в квадрат и выполнить преобразования, то получим – уравнение первой степени относительно . Отсюда

; ;

.

Подставив полученное значение в подынтегральное выражение, придем к рациональной функции. Проинтегрировав и сделав обратную замену , получим результат относительно переменной .

Замечание 1. Случаи, рассмотренные выше ( и ), приводятся один к другому подстановкой . Поэтому можно избежать использования второй подстановки.

Третья подстановка удобна в том случае, если квадратный трехчлен имеет различные действительные корни и . Тогда этот трехчлен, как известно, разлагается на множители .

Положим . Возводя в квадрат и сокращая на , получим , отсюда

; ; .

Замечание 2. Третья подстановка Эйлера, которую можно записать , тождественна уже рассмотренной в подразд. 3.5 подстановке. Покажем теперь, что достаточно первой и третьей подстановок Эйлера, для того чтобы осуществить рационализацию подынтегрального выражения во всех возможных случаях. Действительно, если трехчлен имеет действительные корни, то применима третья подстановка. Если же действительных корней нет, то трехчлен при всех значениях переменной имеет знак . В случае применима первая подстановка, а в случае радикал не имел бы вещественных значений.

Примеры

1. Вычислить .

Решение. Поскольку , то применим первую подстановку:

, , , .

.

Если подставить вместо , то получим

.

2. Вычислить .

Решение. Воспользуемся второй подстановкой, так как .

Полагаем , тогда , и .

Подставляя полученные выражения в исходный интеграл, находим

3. Вычислить .

Решение. Так как подкоренное выражение разлагается на множители, то можно применить третью подстановку .

Имеем , , , и

.

Для получения окончательного результата введем обратную замену и получим

.