3.4. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
Рассмотрим
интегралы вида
,
где
–
рациональная дробь относительно
и
.
Покажем, что этот интеграл с помощью
подстановки
всегда
сводится к интегралу от рациональной
функции. Выразим
и
через
:
;
;
,
.
Таким
образом,
,
и
выражаются
рационально через
.
Подставляя полученные выражения в
исходный интеграл, получим интеграл от
рациональной функции
.
Рассмотренная
подстановка дает возможность свести
всякую функцию вида
к
рациональной алгебраической дроби.
Поэтому подстановку иногда называют
универсальной тригонометрической.
Однако на практике она часто приводит
к слишком сложным рациональным функциям,
поэтому наряду с универсальной
подстановкой бывает полезно знать также
другие подстановки, которые быстрее
приводят к цели.
1.
Если интеграл имеет вид
,
то подстановка
,
приводит
этот интеграл к виду
.
2.
Если интеграл имеет вид
,
то он приводится к интегралу от
рациональной функции заменой
,
.
3.
Если подынтегральная функция зависит
только от
,
то замена
,
,
приводит
этот интеграл к интегралу от рациональной
функции
.
4.
Если подынтегральная функция имеет вид
,
но
и
входят
только в четных степенях, то применяется
подстановка
,
так как
и
выражаются
рационально через
:
,
,
.
После подстановки мы получим интеграл от рациональной функции.
Примеры
1.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Воспользуемся
универсальной тригонометрической
подстановкой
.
Получим
2.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Этот интеграл легко привести к виду
. Действительно,
3.
Вычислить интеграл
.
Решение.
Введем
замену
и
выразим
:
Остановимся
отдельно на интегралах вида
,
где
и
–
рациональные числа. Они интегрируются
в элементарных функциях в следующих
случаях:
1)
если
–
нечетное положительное число, то
применяется подстановка
;
2)
если
–
нечетное положительное число, то
применяется подстановка
;
3)
если
и
–
четные положительные числа, то применяется
метод понижения степени с помощью
тригонометрических преобразований
,
;
;
4)
если
–
четное отрицательное число, то удобна
подстановка
или
.
Примеры
1.
Вычислить
.
Решение.
Так
как
5
– нечетное, то применим подстановку
,
тогда
,
и
2.
Вычислить
.
Решение.
Так
как
4
и
2
– четные положительные числа, то
применяем метод понижения степени:
.
К последнему интегралу применим формулу
.
Таким образом,
3.
Вычислить
.
Решение.
Здесь
–
четное отрицательное число, поэтому
применим подстановку
,
,
,
следовательно,
Рассмотрим
интегралы вида
,
,
.
Эти интегралы непосредственно вычисляются, если в них подынтегральные функции преобразовать согласно формулам:
,
,
.
Пример.
Вычислить
.
Решение:
3.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
Не от всякой иррациональной функции интеграл выражается через элементарные функции. Рассмотрим те функции, интегралы от которых с помощью подстановок приводятся к интегралам от рациональных функций и интегрируются в элементарных функциях.
1.
Если под знаком интеграла стоит
рациональная функция от дробных степеней
независимой переменной
,
то есть рассматривается
,
то подынтегральная функция преобразуется
в рациональную функцию от
с
помощью подстановки
,
где
–
общий знаменатель дробей
:
,
.
Пример.
Вычислить
.
Решение:
.
Общий
знаменатель дробей
равен
12, поэтому выполняем подстановку
,
.
Получим
Выразив
из
равенства
,
и
подставив в полученный результат,
получим окончательный ответ
2.
Если под знаком интеграла стоит
рациональная функция от дробных степеней
выражения
,
то есть
,
то с помощью подстановки
,
где
–
общий знаменатель дробей
,
подынтегральная функция преобразуется
в рациональную дробь. Для нахождения
выполним
преобразования: выразим
,
и
.
Пример.
Вычислить
интеграл
.
Решение.
Выполним
подстановку
,
,
,
тогда
3.
Рассмотрим интеграл вида
.
Этот
интеграл сводится к интегралу от
рациональной функции с помощью подстановки
,
где
–
общий знаменатель дробей
.
Для нахождения
необходимо
предварительно выразить
из
равенства
.
Поясним на примере.
Пример.
Вычислить
.
Решение.
Введем подстановку
,
откуда
,
,
.
Следовательно,
.
Возвращаясь
к переменной
,
получим
и
