3.3. Интегрирование рациональных дробей

Рассмотрим рациональные функции, интегралы от которых выражаются через элементарные функции.

Определение. Рациональной функцией или рациональной дробью называется отношение двух многочленов:

.

Будем предполагать, что эти многочлены не имеют общих корней.

Определение. Если степень числителя ниже степени знаменателя, то дробь называется правильной, а если степень числителя выше или равна степени знаменателя, то дробь – неправильная.

Если дробь неправильная, то, разделив числитель на знаменатель по правилу деления многочленов, можно представить данную дробь в виде суммы многочлена и некоторой правильной дроби:

;

где – многочлен, а – правильная дробь.

Пример 1. Представить дробь в виде суммы многочлена и правильной дроби.

Решение. Разделим числитель на знаменатель

получим

.

Так как интегрирование многочленов не представляет затруднений, то возникает вопрос об интегрировании рациональных дробей, каждая из которых может быть представлена в виде алгебраической суммы правильных дробей I, II, III и IV типов:

I тип: ;

II тип: , где – натуральное число;

III тип: , ;

IV тип: , ( – натуральное число; корни знаменателя комплексные, – числа).

Рассмотрим интегралы от простейших дробей:

I. .

II. , .

При интегрировании дробей III и IV типов используется та же методика, что и при интегрировании функций, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе. Для вычисления интегралов вида возможно применение рекуррентной формулы, указанной в таблице раздела 3.8.

Интегрирование произвольной правильной дроби основано на теореме из курса алгебры.

Теорема. Каждая правильная дробь , где и – алгебраические многочлены, может быть представлена единственным образом в виде суммы конечного числа простейших дробей.

Разложение правильной дроби на простейшие связано с разложением ее знаменателя на простые множители. Как известно, каждый целый многочлен с действительными коэффициентами разлагается, и притом единственным образом, на множители типа и ; при этом квадратичные множители предполагаются не имеющими действительных корней и, следовательно, неразложимыми на линейные множители. Объединяя одинаковые множители и полагая для простоты старший коэффициент многочлена равным единице, можно записать разложение этого многочлена схематически в виде

.

Тогда правильная дробь

может быть представлена в виде

Коэффициенты можно определить методом неопределенных коэффициентов. Написанное равенство есть тождество, поэтому, приведя дроби к общему знаменателю, получим в числителях тождественные многочлены справа и слева. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , получим систему уравнений для определения неизвестных коэффициентов .

Пример. Разложить дробь на простейшие.

Решение. На основании сформулированной теоремы имеем

.

Приводя к общему знаменателю и приравнивая числители, получим

,

или

.

Сравнивая коэффициенты при , и (свободный член), получим систему уравнений для определения коэффициентов

Решая эту систему, найдем

; ; .

В результате получаем разложение

.

Приведем алгоритм интегрирования рациональных дробей вида .

1. Если данная дробь неправильная, то представляем ее в виде суммы многочлена и правильной рациональной дроби .

2. Разлагаем знаменатель правильной дроби на простые множители.

3. Представляем правильную дробь в виде суммы простейших рациональных дробей.

4. Производим вычисление интеграла с использованием соответствующих методик интегрирования простейших дробей и многочленов.

Пример. Вычислить .

Решение. Подынтегральное выражение – неправильная дробь, поэтому выделим целую часть, разделив числитель на знаменатель.

Получим

.

Следовательно,

.

Разлагаем правильную дробь на простейшие:

.

Отсюда

или

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях , составим систему

Решая ее, найдем ; ; .

В результате дробь будет иметь вид

и

Вычисляем интеграл от простейшей дроби III типа. Для этого выполним подстановку , , .

Таким образом,

а данный интеграл

.