3. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
3.1. Метод интегрирования по частям
К
сожалению, не существует формулы,
выражающей интеграл от произведения
функций через интегралы от сомножителей.
С этим связано то обстоятельство, что
в отличие от производных интеграл от
элементарной функции не всегда является
элементарной функцией. Например,
интегралы
и
–
табличные, тогда как интеграл
не
выражается через основные элементарные
функции.
Для
того чтобы найти интеграл от произведения
некоторого класса функций, таких как
,
,
,
,
,
и
других, рассмотрим прием интегрирования,
обратный приему дифференцирования
произведения двух функций.
Пусть
и
–
две функции, имеющие непрерывные
производные
и
.
Найдем дифференциал произведения
функций
и
:
.
Вычислив
неопределенные интегралы от обеих
частей этого равенства, получим
.
Так как
,
а
,
то получаем
,
откуда
.
Поскольку
уже
содержит произвольную постоянную, в
правой части полученного равенства
можно
опустить и записать равенство в виде
(3.1)
Полученная
формула называется формулой интегрирования
по частям. Этой формулой обычно пользуются
в том случае, когда подынтегральное
выражение
проще,
чем подынтегральное выражение
.
Заметим,
что одно и то же подынтегральное выражение
можно различными способами записать в
виде
.
Например,
и
так далее. Поэтому иногда приходится
испытывать различные формы такой записи,
прежде чем метод приведет к успеху.
Обычно стараются подынтегральное
выражение разбить на части
и
так,
чтобы вид
был
не сложнее, чем вид
,
а вид
проще,
чем вид
.
В частности, полезно иметь в виду, что
для таких функций, как
,
производные имеют вид более простой
для интегрирования, чем сами функции.
Поэтому в большинстве случаев эти
функции удобно принимать за
.
Примеры. Вычислить интегралы, применяя формулу интегрирования по частям.
1.
Вычислить
.
Решение:
.
2.
Вычислить
.
Решение:
3.
Вычислить
.
Решение:
Любопытный
пример представляют интегралы, в которых
после применения формулы (3.1) и
преобразований в правой части получается
исходный интеграл, но с другим
коэффициентом. Тогда, приводя подобные
члены, можно прийти относительно первого
интеграла к алгебраическому уравнению,
решая которое получим результат. К таким
интегралам относятся, например:
,
,
.
Примеры
1.
Вычислить
.
Решение:
Обозначим
,
тогда получим уравнение
.
Решая
его, получаем
и
,
таким образом,
.
2.
Вычислить
.
Решение:
(еще раз применим формулу (3.1))
;
и
.
.
3.2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
Рассмотрим
методику вычисления интегралов типа
и
.
Вычислим вначале .
С этой целью преобразуем знаменатель дроби:
таким образом
.
В зависимости от знака В последний интеграл является табличным (№16 или 17).
Вычисление
осуществляется
по той же методике, но в результате
линейной подстановки
,
в зависимости от знака коэффициента
,
приходим к табличным интегралам №18 или
19.
Примеры
1.
Вычислить
Решение:
2.
Вычислим
Решение:
