2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов

Остановимся первоначально на двух свойствах неопределенного интеграла, следующих из определения.

Свойство 1. Дифференциал от неопределенного интеграла равен подынтегральному выражению, а производная неопределенного интеграла равна подынтегральной функции

.

Доказательство. Так как , где , то .

Но тогда .

Свойство 2. Неопределенный интеграл от производной некоторой функции равен сумме этой функции и некоторой произвольной постоянной:

.

Доказательство. Так как , то по определению неопределенного интеграла , что и требовалось доказать.

Учитывая, что , свойство (2) можно записать в виде:

.

2.1. Таблица основных интегралов

Пользуясь свойством 1 и обращаясь к формулам для производных основных элементарных функций, можно составить таблицу основных интегралов.

Например, из формулы получаем .

Формулу лучше переписать в виде , откуда получаем .

Аналогично пишут просто , .

Неопределенный интеграл – это множество всех первообразных подынтегральной функции, то есть выбор определенной первообразной неоднозначен. Известно, что , поэтому

                                         .                                                           (2.1)

Из формулы вытекает, что

                                         .                                                      (2.2)

На первый взгляд кажется, что эта формула противоречит предыдущей. Но это не так: на основании формулы следует, что , где .

Итак, дело в том, что в правых частях равенств (2.1) и (2.2) произвольные постоянные различные. Такое различие формы ответов бывает и в других примерах неопределенных интегралов. Естественно, что при решении задач из двух формул (2.1) и (2.2) надо выбрать какую-то одну, например, (2.1). Для основных элементарных функций можно составить таблицу интегралов:

1) ;

2) ;

3) , на любом промежутке, на котором х 0;

4) ;

5) ;

6) ;

7) ;

8) ;

9) ;

10) ;

11) ;

12) ;

13) ;

14) ;

15) ;

16) ;

17) ;

18) ;

19) .

2.2. Простейшие правила интегрирования

Рамки приведенной выше таблицы интегралов раздвигаются при помощи правил интегрирования. Рассмотрим некоторые из них.

1. Постоянный множитель можно вынести за знак неопределенного интеграла:

                                                                       (2.3)

Доказательство. Продифференцировав правую часть равенства, получим

.

Таким образом, дифференциал правой части доказываемого равенства равен подынтегральному выражению левой части, а это и означает справедливость формулы (2.3).

2. Если существуют интегралы и , то неопределенный интеграл суммы (разности) равен сумме (разности) неопределенных интегралов от этих функций:

                                       .                                (2.4)

Доказательство. Продифференцируем правую часть равенства (2.4):

Мы получили подынтегральное выражение неопределенного интеграла, стоящего в левой части равенства (2.4), откуда и следует справедливость утверждения.

Замечание. В эти две формулы входят неопределенные интегралы, содержащие каждый произвольное постоянное слагаемое. Равенства подобного типа понимаются в том смысле, что разность между правой и левой частями его есть постоянная. Можно понимать эти равенства и буквально, но тогда один из фигурирующих в них интегралов перестает быть произвольной первообразной: постоянная в нем устанавливается после выбора постоянных в других интегралах. Это важное замечание следует иметь в виду и впредь.

3. Если существует , то .

Особенно часто встречаются случаи, когда или :

, .

4. Если подынтегральное выражение можно представить в виде , то можно использовать замену переменной. Подстановка сводит исходный интеграл к интегралу вида .

Применение рассмотренных правил дает возможность представить данный интеграл в виде суммы табличных интегралов, после чего произвести почленное интегрирование и написать общий ответ.

Примеры. Вычислить неопределенные интегралы:

1)

2)

3) ;

4) .

Записав единицу, стоящую в числителе, как тригонометрическую, то есть , разделим числитель почленно на знаменатель, получим:

5) .

Преобразуем числитель, прибавив к единице и отняв , тогда получим

6) .

Если подынтегральное выражение представляет собой дробь, то следует проверить, не является ли числитель производной знаменателя. Если это условие выполнено, то можно ввести замену переменной, полагая этой новой переменной знаменатель дроби.

В данном примере , поэтому домножив числитель на 2, можно свести интеграл к табличному:

.

Поскольку формулы интегрирования не зависят от наименования переменной, то можно было не вводить переменную , а оперировать с переменной ( );

7) .

Сравнивая данный интеграл с табличным , можно заметить, что в табличном интеграле показатель степени является переменной интегрирования. Поэтому следует принять за новую переменную показатель степени , тогда , , и интеграл примет вид .