Контрольные вопросы и задания
1. Напишите формулы для вычисления площади плоской фигуры с помощью определенного интеграла в декартовой и полярной системах координат.
2. Напишите формулы вычисления объема тела, образованного вращением криволинейной трапеции: а) вокруг оси ОХ; б) вокруг оси ОУ.
3.
Запишите формулу вычисления объема
тела, образованного вращением криволинейной
трапеции вокруг прямой
,
где
.
4. Составляя соответствующие интегральные суммы и находя их пределы, решите задачу.
Какую работу надо затратить, чтобы тело массы m поднять с поверхности Земли, радиус которой R, на высоту h? Чему равна эта работа, если тело удаляется в бесконечность?
5. Определить среднее значение функции f(x)=10+2sinx+3cosx на промежутке [0;2 ].
6.
Сила переменного тока меняется по закону
,
где А
– амплитуда; t
– время; Т
– период;
– начальная фаза.
Найдите среднее значение квадрата силы тока.
7. Вычислите предел
.
8. Найдите площадь фигур, ограниченных кривыми в декартовой прямоугольной системе координат:
а)
б)
в)
.
9.
Найдите, в каком отношении парабола
делит
площадь круга
.
10.
Найдите площадь фигуры, ограниченной
кривой в полярной системе координат
.
11.
Найдите площадь фигуры, ограниченной
астроидой
.
12.
Найдите длину дуги кривой
на
отрезке у
[1;e].
13.
Докажите, что длина дуги эллипса
равна
длине одной волны синусоиды
,
где
.
14.
Найдите длину кардиоиды
.
15.
Найдите объем эллипсоида
.
16.
Найдите объем тела, полученного при
вращении фигуры, ограниченной линиями
:
а) вокруг оси ОХ;
б) вокруг оси ОУ.
17. Найдите объем тела, полученного при вращении фигуры, ограниченной линиями:
и
y
=
0,
,
вокруг оси ОХ.
18.
Найдите объем тела, образованного
вращением фигуры, ограниченной полувитком
спирали Архимеда
вокруг
полярной оси.
19.
Найдите площадь поверхности, образованной
вращением кривой y=tg(x),
,
вокруг оси ОХ.
20.
Вычислите площадь поверхности,
образованной вращением дуги циклоиды
,
,
вокруг оси ОХ.
21. Найдите центр тяжести дуги циклоиды
.
22.
Найдите центр тяжести плоской фигуры,
ограниченной прямой
,
синусоидой y
=
sin(x),
осью абсцисс y
=
0, (x
>
0).
11. Приближенные методы вычисления определенного интеграла
Если решение той или иной практической задачи привело к определенному интегралу, то, естественно, возникает вопрос вычисления этого интеграла. В случае, когда подынтегральная функция имеет первообразные среди элементарных функций, величину определенного интеграла можно получить, пользуясь формулой Ньютона–Лейбница. Но процесс нахождения первообразной иногда бывает довольно трудоемким, а сама полученная формула очень сложной.
Нередко приходится сталкиваться с интегралами, которые не выражаются через элементарные функции. Это, например, интегралы вида
.
Несмотря на то, что эти интегралы представляют неэлементарные функции, они играют большую роль как в математическом анализе, так и в его разнообразных приложениях. Некоторые из них даже имеют специальные названия: интеграл ошибок, интегральный синус, эллиптические интегралы. Вычислить такие интегралы иногда удается, разложив подынтегральную функцию в ряд.
Если эти методы не дают результата или неприменимы, то величину определенного интеграла можно вычислить с помощью формул численного интегрирования, которые также называются квадратурными формулами. К ним относятся квадратурные формулы прямоугольников, трапеций и Симпсона (метод парабол).
Существуют и другие методы приближенного вычисления определенного интеграла, но они не рассматриваются в данном пособии.
Основой способов приближенного вычисления является определение интеграла как предела интегральных сумм.