10.10. Вычисление некоторых физических и механических величин с помощью определенного интеграла

Идея суммирования бесконечно малых элементов является весьма эффективной в приложениях. Пусть требуется определить некоторую величину Q на промежутке [a; b], при этом каждому частичному промежутку [ ;  ] [a; b] отвечает соответствующая часть величины Q. Таким образом, каждому элементарному промежутку отвечает элемент , приближенное значение которого можно представить в виде , где q(x) –некоторая функция, а точное значение – интегралом .

В ранее рассмотренных примерах приложений определенного интеграла величина Q представляла собой соответственно площадь фигуры, длину дуги, объем тела. Поскольку величин указанного типа достаточно много, то определенный интеграл широко применяется для вычислений. Рассмотрим путь S, пройденный за время от момента до момента . Известно, что скорость на промежутке определяется формулой V=V(t). Каждому элементарному промежутку отвечает элемент , приближенно равный , где – произвольная точка промежутка . Тогда – путь, пройденный телом от момента времени до момента .

Аналогичным образом можно получить формулы для вычисления работы силы, статических моментов, центра тяжести и др. Некоторые из этих формул далее будут приведены. Перечисление всех возможных приложений определенного интеграла вряд ли целесообразно, поскольку главной идеей остается составление интегральной суммы. А операция построения интегральной суммы однотипна для всех видов исследований. Остается только следить за тем, чтобы полученное подынтегральное выражение удовлетворяло условиям интегрируемости на рассматриваемом промежутке.

Работа силы. Пусть материальная точка М движется по непрерывно дифференцируемой кривой l под воздействием некоторой силы F, направленной по касательной к кривой. Сила F меняется в зависимости от положения точки на кривой, то есть F = F(l), тогда величина представляет элементарную работу. Работа силы F на кривой от точки a до точки b выражается интегралом .

Если непрерывная переменная сила F(x) действует в направлении оси ОХ, то работа силы на отрезке [a; b] определяется интегралом .

Пример 1. Сила трения постоянна по величине и направлена в сторону, противоположную скорости, то есть F = -h при V > 0 и F = h при V < 0. Тело движется по закону x = B sin t. Найдите работу силы трения за время от t = 0 до , если , В > 0.

Решение. Воспользуемся формулой .

Поскольку x = x(t), то формула приобретает вид .

Если уравнение движения тела x = B sin t, то скорость определяется по формуле V(t) = x’(t) = B  cos t.

Период функции V(t) равен , поэтому на промежутке от t = 0 до скорость принимает как положительное, так и отрицательное значения.

Если , то V(t) > 0, тогда F = -h.

Если , то V(t) < 0, тогда F = h.

.

Статические моменты плоской кривой.Пусть М – материальная точка массы m с координатами х и у. Произведения my и mx называются статическими моментами материальной точки относительно осей ОХ и ОУ соответственно. Пусть L – плоская кривая с массой, пропорциональной длине дуги, то есть дуга длины имеет массу , где  – некоторая постоянная, называемая линейной плотностью кривой L. В частности, если  = 1, то , тогда статические моменты и плоской кривой L относительно координатных осей ОХ и ОУ на участке от а до b выражаются формулами

,

где dl записывается по одной из формул подразд. 10.6 в зависимости от заданной кривой.

Пример 2. Найти статические моменты дуги кривой y = cosx от точки до точки относительно оси ОХ.

Решение. Поскольку кривая задана уравнением y = y(x), то , .

Согласно формуле

.

Статические моменты фигуры на плоскости. Пусть в декартовой системе координат на плоскости задана фигура, ограниченная кривыми , x = a, x = b и для x  [a; b] .

Если плотность постоянна ( = 1), то статические моменты фигуры относительно осей координат выражаются формулами:

;

.

Пример 3. Вычислить статический момент фигуры, ограниченной линиями относительно оси ОХ.

Решение. Кривые пересекаются в точках (0;0) и (1;1). На отрезке x [0,1] выполняется неравенство , поэтому

.

Координаты центра тяжести плоской кривой. Центр тяжести плоской кривой имеет координаты

где L – длина кривой на рассматриваемом участке, – статические моменты кривой относительно осей координат.

Пример 4. Найти центр тяжести полуокружности , расположенной над осью ОХ.

Решение. Уравнение определяет окружность радиуса а с центром в начале координат. Длина половины окружности L =  a. Центр тяжести дуги лежит на оси ОУ, поскольку линия симметрична относительно оси ординат, то есть . Для нахождения ординаты центра тяжести вычислим :

; ;

.

Таким образом .

Центр тяжести полуокружности имеет координаты .

Координаты центра тяжести плоской фигуры. Центр тяжести фигуры, заданной на плоскости, имеет координаты

,

где – статические моменты фигуры относительно осей координат; S – площадь фигуры.

Пример 5. Определить координаты центра тяжести области, ограниченной первой аркой циклоиды x = a(t – sint), y = a(1 – cost), , a > 0 и осью ОХ.

Решение. Вычислим площадь фигуры и статические моменты:

;

;

.

Подставив полученные результаты в формулы, найдем координаты центра тяжести:

.