10.9. Вычисление площади поверхности вращения
Пусть
функция y = f(x) определена, неотрицательна,
дифференцируема на отрезке [a; b] и имеет
на этом отрезке непрерывную производную.
Разобьем отрезок [a; b] произвольным
образом на n частей точками
.
Впишем в график функции y = f(x) ломаную в
точках
,
где
.
Каждая трапеция с вершинами в точках
при
вращении ломаной вокруг оси OX образует
усеченный конус, площадь боковой
поверхности которого
,
где
R и r – длины радиусов оснований усеченного
конуса,
–
длина образующей конуса. В данном случае
,
где
,
то есть
.
Для площади поверхности, полученной вращением вокруг оси OX всей ломаной, будет справедлива формула
.
Площадью
Р
поверхности тела, полученного вращением
графика функции y = f(x) вокруг оси ОХ
на отрезке [a; b], называется предел, к
которому стремится площадь
,
образованная вращением вписанной в
кривую ломаной, при стремлении к нулю
наибольшей из ее сторон (или при n
,
что равносильно):
.
Преобразуем
выражение для
:
.
Оценим
вторую сумму. Функция y = f(x) – непрерывна
на отрезке [a; b], следовательно, по теореме
Кантора, и равномерно непрерывна на
нем. Это означает, что для любого e >0
существует такое d >0, что для любых
двух точек
и
отрезка,
удовлетворяющих условию
,
выполняется неравенство
.
Таким образом, для всякого сколь угодно
малого e >0 найдется такое d >0, что как
только
,
то
(по
условию
),
тогда
,
где l – длина дуги кривой y = f(x) на отрезке [a; b].
Поскольку l – фиксированная величина для заданной функции на указанном отрезке, а – сколь угодно малое число, то полученная оценка показывает, что при измельчении разбиения (при n ) вторая сумма по модулю будет меньше любого наперед заданного положительного числа, то есть
.
Первая из сумм является интегральной, так что получаем
.
Площадь поверхности, полученной вращением кривой y = f(x) вокруг оси ОХ, вычисляется по формуле
.
Если кривая x = (y) непрерывна и имеет непрерывную производную на отрезке y [a; b], то площадь поверхности, полученной вращением кривой вокруг оси ОУ
.
Если кривая задана параметрически или в полярных координатах, то достаточно произвести замену переменной в полученных формулах.
Пример
1. Вычислить
площадь поверхности, образованной
вращением части кривой
,
отсеченной прямой х
= 2, вокруг оси ОХ.
Решение.
Уравнение
определяет
параболу с вершиной в точке (-4; 0) и осью
симметрии ОХ,
потому для вычисления площади поверхности
вращения достаточно рассмотреть одну
ветвь параболы
на
отрезке [-4;2]:
;
.
Подставив полученные выражения в формулу, получим
.
Пример
2. Найти
площадь поверхности, образованной
вращением дуги кривой
вокруг
оси ОХ
от t = 0 до
.
Решение. Преобразуем формулу вычисления поверхности тела вращения для случая параметрического задания кривой x = x(t), y = y(t):
.
В
рассматриваемой задаче
;
.
Подстановка полученных выражений в формулу дает следующий результат:
.
Пример 3. Найти площадь поверхности, образованной вращением кардиоиды r =a(1+cos ) вокруг полярной оси.
Решение. Для полярной системы координат (если вращение производится вокруг полярной оси) формула для вычисления площади поверхности тела вращения принимает вид
.
Поскольку кардиоида симметрична относительно лучей j = p k, где k – целое число, то пределами интегрирования можно взять значения = 0, = . Тогда
.