10.7. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений

Рис. 10.9.

Пусть в декартовой системе координат задано некоторое пространственное тело, абсцисса проекции которого – отрезок (рис. 10.9). Разобьем отрезок [a;b] на n частей произвольным образом и обозначим точки деления: .

Через каждую точку деления проведем плоскость, перпендикулярную к оси ОХ и обозначим площади полученных поперечных сечений . Будем предполагать, что значения известно при любом выборе разбиения отрезка [a,b] и непрерывная на [a,b] функция.

На каждом отрезке разбиения выберем произвольную точку , вычислим значение и построим на каждом промежутке цилиндрическое тело, образующая которого параллельна оси ОХ, а направляющей является контур сечения . Объем каждого цилиндра с основанием и высотой равен , а объем всего ступенчатого тела .

Предел полученной интегральной суммы, который существует в силу непрерывности функции S(x), при n называется объемом заданного тела и равен определенному интегралу:

.

Пример. Найти объем тела, ограниченного поверхностями:

, >0, b>0, c>0.

Решение. Уравнение определяет эллиптический цилиндр, направляющая которого – эллипс, а образующая – прямая, параллельная оси OZ. Уравнение определяет плоскость, проходящую через ось OY, а уравнение z = 0 – координатную плоскость XOY. Тело, ограниченное заданными поверхностями, изображено на рис. 10.10.

Рис. 10.10.

Для каждого x [0; ] поперечное сечение (сечение плоскостью, перпендикулярной оси ОХ) будет представлять собой прямоугольник, смежные стороны которого (из уравнения плоскости ) и (из уравнения эллипса ). Таким образом, площадь поперечного сечения определяется формулой

,

откуда объем V заданного тела равен

.

10.8 Вычисление объема тела вращения

Рис. 10.11.

Пусть функция y = f(x) определена, неотрицательна и непрерывна на отрезке [a; b], тогда график кривой на [a; b], ось OX, прямые x = a, x = b образуют криволинейную трапецию. Рассмотрим тело, образованное вращением этой криволинейной трапеции вокруг оси OX и найдем его объем (рис. 10.11), воспользовавшись результатом подразд. 10.7. Очевидно, что любое поперечное сечение тела вращения – круг. Площадь этого круга, образованного при сечении тела плоскостью, перпендикулярной оси OX в точке x [a;b]

.

Тогда, по формуле подразд. 10.7 получим объем тела вращения вокруг оси ОХ:

.

Если криволинейная трапеция, ограниченная прямыми y = a, y = b, осью OY и графиком непрерывной функции x =  (y), вращается вокруг оси OY, то объем тела вращения находится по формуле

.

Замечание. Формулу объема тела, полученного вращением вокруг оси OX криволинейной трапеции , где f(x) – непрерывная функция, можно было вывести и обычным составлением интегральной суммы. Если – произвольное разбиение отрезка, , – произвольно выбранная точка на отрезке, то произведение представляет собой объем цилиндра высотой и радиуса , а интегральная сумма – объем ступенчатой фигуры. Предел интегральной суммы, существующий в силу непрерывности функции f(x), равен объему тела вращения

.

Рис. 10.12.

Пример 1. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси OX. Решение. Графиком функции является парабола с вершиной в точке (1;1), пересекающая ось OX в точках (0;0) и (2;0). Таким образом, отрезок интегрирования – [0;2] (рис. 10.12).

Вычислим объем:

.

Пример 2. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями , вокруг оси OY.

Решение. Тело образовано вращением фигуры, ограниченной параболой и осью OX, вокруг оси OY на отрезке [0;1] (рис. 10.12). Запишем уравнение параболы в виде и найдем обратные функции при и при . Таким образом, искомый объем представляет собой разность двух объемов, образованных вращением вокруг оси OY криволинейных трапеций, ограниченных линиями и на отрезке y [0;1]:

,

,

;

;

.

Рис. 10.13.

Пример 3. Вычислить объем тела, полученного вращением вокруг оси OX петли кривой , (рис. 10.13). Решение. Искомый объем может быть получен вращением верхней части петли кривой на отрезке x [0;3a], соответствующем изменению параметра t от t = 0 до . Запишем формулу:

.

Сделаем замену переменной . Если x = 0, то t = 0, если x = 3a, то .

Пример 4. Найти объем тела, образованного вращением вокруг полярной оси кривой (a>0).

Решение. Перейдем к параметрическому заданию кривой, приняв за параметр полярный угол  :

;

.

Рис. 10.14.

Поскольку в декартовых координатах фигура симметрична оси OY, достаточно рассмотреть фигуру, полученную вращением кривой на отрезке x [0;a] (рис. 10.14) и вычислить . Введем замену переменной:

.

Если x = 0, то , если x = a, то  = 0.

,

.