10.5. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.

Пусть x = x(t), y = y(t), где – параметрические уравнения кусочно-гладкой кривой. Если данные уравнения определяют некоторую функцию y = f(x) на отрезке [a,b] (без ограничения общности будем считать, что на отрезке [a,b]), то площадь криволинейной трапеции, ограниченной осью OX, кривой y = f(x) и прямыми x = a и x = b, может быть найдена по формуле .

Вводя замену переменной y = y(t), x = x(t), dx = x’(t)dt, получим формулу для вычисления площади фигуры при параметрическом задании границы:

.

Аналогично может быть получена формула

.

Таким образом, вычисление площади фигуры, ограниченной кривой в параметрической форме, может быть рассмотрено как замена переменной при вычислении площади в декартовых координатах.

Если x = x(t), y = y(t), – параметрические уравнения кусочно-гладкой замкнутой кривой, пробегаемой в положительном направлении (то есть таким образом, что фигура, ограниченная заданным контуром остается слева), то площадь

,

где – значения параметра, соответствующие началу и концу обхода контура фигуры в положительном направлении.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой, заданной параметрически:

  .

Решение. Выясним, какую фигуру ограничивает заданная кривая. Функции x = x(t) и y = y(t) определены, непрерывны и дифференцируемы при любом действительном значении параметра . Если , то , а если , то .

Рис. 10.7.

Наибольшее значение x принимает при x’(t) = 0, 2–2t = 0; t = 1, x(1) = 1; y(1) = 1. Если x = 0, то t = 2 или t = 0. При этих же значениях параметра y = 0. Таким образом, точка с координатами (0;0) является точкой самопересечения. Следовательно, искомая площадь ограничена петлей кривой, расположенной в первом квадранте, и соответствует изменению параметра от t = 0 до t = 2 при положительном направлении обхода (рис. 10.7).

Площадь искомой фигуры можно вычислить по формуле

.

Тогда

Поскольку некоторые кривые могут быть заданы простыми параметрическими уравнениями, то вычисление площади фигуры, ограниченной замкнутой кривой, в декартовых координатах зачастую удобнее проводить, перейдя к параметрической форме записи.

Пример 2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной эллипсом .

Решение. Запишем уравнение эллипса в параметрической форме: x = a cost, y = b sint, . Возрастание параметра от 0 до 2 соответствует положительному направлению обхода. Наиболее простой вид подынтегральное выражение примет, если воспользоваться формулой

.

Тогда

;

.

10.6. Вычисление длины дуги кривой

Пусть в декартовой системе координат на плоскости дана кривая, являющаяся графиком непрерывной дифференцируемой функции y=f(x) с непрерывной производной на отрезке [a;b]. Разобьем отрезок [a,b] произвольным образом на n частей точками . Найдем значения функции f(x) в точках разбиения. Тогда дуга кривой f(x) на [a; b] разобьется на n частей точками

.

Проведем хорды и обозначим их длины соответственно. Полученная ломаная имеет длину .

Определение. Длиной дуги кривой y = f(x) на отрезке [a; b] называется предел, к которому стремится длина вписанной ломаной при стремлении к нулю длины ее наибольшего звена (или, что то же самое, при неограниченном увеличении числа точек деления)

.

Длина отдельного звена ломаной может быть найдена как длина отрезка :

.

Поскольку функция f(x) непрерывна и дифференцируема на всем промежутке [a; b], то по теореме Лагранжа о дифференцируемых функциях, найдется такая точка на отрезке , что

.

Если обозначить , то формулу для можно переписать в виде

Таким образом, длина дуги y = f(x) на отрезке [a; b] определяется формулой

в силу непрерывности f’(x) и определения интегральной суммы. Выражение называется дифференциалом дуги.

Если кривая задана уравнением x = f(y), y  [a;b], то, рассуждая аналогично, можно получить формулу

, .

Если кривая на плоскости задана параметрически: x = x(t), y = y(t), ; , где x(t), y(t) – дифференцируемые функции, имеющие на отрезке непрерывную производную, то, выполнив замену переменной в предыдущих формулах, получим

,

.

Если задана пространственная кривая параметрическими уравнениями x = x(t), y = y(t), z = z(t), , где x(t), y(t), z(t) – дифференцируемые на отрезке функции с непрерывной производной, то длина кривой вычисляется по формуле

, .

Пусть в полярных координатах кривая задана уравнением , где – дифференцируемая функция с непрерывной на производной . Запишем формулы перехода от декартовой системы координат к полярной: . Если в эти формулы подставить , то получится параметрическое задание кривой, где параметр – полярный угол. Тогда по формуле для параметрически заданной функции можно найти длину дуги кривой

.

, .

Рассмотрим некоторые примеры вычисления длины дуги кривой.

Пример 1. Вычислить длину дуги кривой от точки до точки , (b>a).

Решение. Воспользуемся формулой :

;

;

.

Пример 2. На циклоиде x = a(t-sint), y = a(1-cost), a >0, найти точку, которая делит первую арку циклоиды по длине в отношении 1:3.

Решение. Первая арка циклоиды соответствует изменению параметра t от t = 0 до t = 2 . Вычислим длину первой арки циклоиды:

;

Таким образом, искомая точка, соответствующая значению параметра , определяет часть кривой, имеющую длину 2а, то есть

.

Найдем из этого равенства значение :

Исходя из условий задачи, следует выбрать значение .

Если , то

.

Искомая точка имеет координаты

.

Пример 3. Найти длину дуги кривой, заданной в полярных координатах уравнением , a >0.

Рис. 10.8.

Решение. Уравнение , a >0, определяет замкнутую кривую, соответствующую изменению  от 0 до 3 (рис. 10.8). Воспользуемся формулой :

.