10.4. Вычисление площади в полярных координатах

Пусть фигура представляет собой сектор, заданный в полярной системе координат

Рис. 10.4.

кривой , где – неотрицательная непрерывная кривая на отрезке . Разобьем угол на n частей лучами < <…< и обозначим (рис. 10.4). Площадь криволинейного сектора равна сумме n площадей , заданных разбиением , i = 1, 2, …, n, .

Выберем один из элементов разбиения , соответствующий сектору , и зафиксируем на этом промежутке произвольное значение . Значение функции в точке обозначим и заменим площадь криволинейного сектора круговым сектором радиуса , площадь которого . Выполним такую же операцию на каждом участке разбиения и просуммируем полученные значения.

Сумма площадей круговых секторов

представляет собой интегральную сумму, предел которой, существующий в силу непрерывности функции , равен определенному интегралу, выражающему площадь фигуры в полярных координатах

.

При вычислении площади фигуры в полярных координатах рекомендуется придерживаться такого же порядка исследования, что и в декартовых координатах: построение чертежа, вычисление точек пересечения кривых, образующих границу фигуры; запись формулы.

Пример 1. Найти площадь фигуры, ограниченной кардиоидой и окружностью .

Решение. Выполним построение фигуры (рис. 10.5).

Рис. 10.5.

Из рис. 10.5 видно, что пересечение кривых образует три различные фигуры: вне круга, вне кардиоиды и внутренняя часть кардиоиды и окружности. Рассмотрим вычисление площади одной из них, расположенной вне кардиоиды (заштрихованная часть на рисунке). Найдем точки пересечения кривых из системы

, откуда

;

.

При искомая площадь представляет собой часть круга, вырезанного кардиоидой, поэтому следует рассмотреть разность площадей , где – площадь полукруга, а – площадь, ограниченная кардиоидой и лучами .

Согласно формуле запишем,

Замечание. Для вычисления площади, образованной пересечением заданных кривых, расположенной вне круга, надо рассмотреть разность площадей, ограниченных кардиоидой и кругом при .

Для вычисления внутренней части кардиоиды и окружности надо рассмотреть сумму площадей, одна из которых представляет половину круга при , а вторая – сегмент кардиоиды при .

Пример 2. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой

.

Решение. Перейдем к полярным координатам и, используя формулы , запишем уравнение кривой:

;

;

.

Так как , то уравнение примет вид

;

;

.

Из формулы следует, что определено для , для любого значения , принимает наибольшее значение при , n – целое, и наименьшее значение при (рис. 10.6).

Рис. 10.6.

Площадь ограничена замкнутой кривой, симметричной относительно полярной оси и лучей , потому достаточно вычислить одну восьмую часть площади и умножить полученный результат на восемь:

;