10.2. Вычисление средних значений функции
Среднее
значение функции определяется теоремой
о среднем для определенного интеграла:
если функция f(x)
непрерывна на отрезке [a;b],
то существует точка
такая,
что
.
(свойство 9 разд. 6).
Число
находится
между наибольшим и наименьшим значениями
функции на отрезке [a;b]
и называется средним значением функции
f(х) на отрезке.
Корень
квадратный из среднего значения квадрата
функции
называется
средним квадратичным значением функции
f(x)
на [a;b].
Пример
1.
Найти среднее значение функции
на
отрезке
.
Решение. Запишем формулу среднего значения функции для данного случая: а=0, b=2 , ,
–
среднее
значение функции на отрезке [0; 2
]
Пример
2.
Найти среднее значение
давления
р
при его изменении от 2 до 10 атм., если
давление p
и объем V
связаны соотношением:
.
Решение.
При изменении p
от 2 до 10 атм. V
пробегает отрезок
,
отсюда
Пример
3.
Вычислить предел
.
Решение.
Подынтегральная функция
определена
и непрерывна на отрезке [0; 1], поэтому,
по теореме о среднем значении, существует
такая точка
,
что
.
Поскольку
0<
<1,
то
,
поэтому
.
10.3. Вычисление площади в декартовых координатах
Если
плоская фигура ограничена прямыми x
= a,
x
= b,
a
< b,
и кривыми
,
то ее площадь вычисляется по формуле
(рис.
10.1).
Рис. 10.1. |
Аналогично можно рассматривать фигуру относительно оси ОУ. В
некоторых случаях границы х
=
а
и х
=
b
могут вырождаться в точку пересечения
кривых В сложных случаях область следует разбить на фигуры, границы которых удовлетворяют указанным соотношениям. |
.При решении задач удобно придерживаться следующего порядка:
построить в декартовых координатах фигуру, площадь которой требуется найти;
найти точки пересечения кривых, образующих границу области для определения пределов интегрирования;
записать формулу для вычисления и найти площадь.
Пример
1.
Найти площадь фигуры, ограниченной
параболой
и
прямой х
+
у=3.
Решение. Выполним построение и найдем точки пересечения параболы и прямой из системы уравнений
.
Исключив
из
системы, получим уравнение
.
Корнями
этого уравнения являются
и
.
Рис. 10.2. |
Из
рис. 10.2 видно, что
|
на
отрезке [-2; 1], поэтому формула для
вычисления площади имеет вид
Пример
2.
Вычислить площадь фигуры, лежащей в
первом квадранте, ограниченной кривыми
.
Решение. Заданные уравнения определяют следующие кривые:
–
парабола
с вершиной в точке (0;0) и осью симметрии
ОХ;
–
парабола
с вершиной в точке (0;0) и осью симметрии
ОУ;
–
окружность
радиуса
с
центром в точке (0;0). Фигура,
образованная
кривыми, изображена на рис. 10.3.
Рис. 10.3. |
Найдем координаты точек А, В, О. Очевидно,
что О
– начало координат. Точка А
образована пересечением кривых
|
и
.
Найдем ее координаты из решения
системы
Исключая
у,
получим уравнение
,
корнями которого являются значения:
.
Поскольку фигура располагается в первом
квадранте, то следует оставить только
значение х
= 1, которому соответствует ордината у
= 2, то есть точка А
(1;2).
Найдем
координаты точки В,
полученной пересечением параболы
и
окружности
:
При
решении системы удобно исключить х,
тогда из уравнения
получим,
рассуждая по аналогии с предыдущим
случаем, координаты точки В
(2;1).
Если
теперь обратиться к общей формуле
вычисления площади
,
то можно заметить, что верхняя кривая
задана
двумя разными уравнениями: на отрезке
[0;1] – это парабола
,
а на отрезке [1;2] – дуга окружности
.
Нижняя кривая задана одним уравнением
на
всем отрезке [0;2]. Таким образом, при
вычислении площади основную фигуру
придется разбить на две и вычислить
площадь как сумму двух интегралов
.
Вычислим каждый из интегралов отдельно.
.
Окончательно получаем
.
Замечание
1.
Интеграл
был
вычислен по частям:
;
;
.
Замечание 2. Поскольку искомая фигура симметрична относительно биссектрисы первого координатного угла, то вычисление интеграла можно было выполнять по переменной у совершенно аналогично:
.