9.2. Интегралы от неограниченных функций
Рис. 9.2. |
Перейдем ко второму случаю обобщения понятия определенного интеграла – к интегралу от неограниченной функции. Простое геометрическое соображение позволяет показать, что введение понятия несобственного интеграла как интеграла от неограниченной функции не имеет принципиальных различий от уже рассмотренных несобственных интегралов первого рода. Рассмотрим рис. 9.1 и проведем на нем следующие преобразования: поменяем названия осей (ось OX станет осью OY, а ось OY – осью OX) и рассмотрим изображение, которое даст нам рис. 9.2. |
В
окрестности точки
функция
становится неограниченной, тогда
интеграл
определяется
как предел интеграла
при
.
Определение.
Пусть функция
определена
и неограничена на полуинтервале
,
причем она ограничена и интегрируема
на любом отрезке
>0.
Если существует конечный предел
,
то он называется несобственным интегралом
от неограниченной функции или несобственным
интегралом второго рода на отрезке
и
обозначается
:
.
Аналогично
вводится понятие несобственного
интеграла от функции
,
определенной на полуинтервале
:
.
Если
же функция определена на отрезке
во
всех точках, кроме точки
,
в окрестности которой функция неограничена,
то несобственный интеграл
определяется
суммой интегралов
,
где слагаемые в правой части вычисляются как пределы определенных интегралов. Если пределы конечны, то говорят, что несобственный интеграл сходится, в противном случае – расходится.
Все свойства несобственных интегралов 1-го рода, а также признаки сходимости, распространяются на случай несобственных интегралов второго рода.
Пример.
Вычислить несобственный интеграл или
доказать его расходимость:
.
Решение.
Подынтегральная функция
определена
на полуинтервале
и
.
Таким образом, функция является
неограниченной в окрестности точки
.
Представим
функцию
в
виде суммы простых дробей:
;
;
;
.
Коэффициенты А, В, С найдем из системы:
;
,
,
;
;
.
Второе слагаемое – обычный определенный интеграл, значит, сходимость несобственного интеграла зависит от первого слагаемого
.
Интеграл
расходится, значит, расходится и интеграл
.
Контрольные вопросы и задания
1. Какой интеграл называется несобственным?
2. Дайте определение несобственных интегралов 1-го и 2-го родов.
3. Сформулируйте свойства несобственных интегралов.
4. Укажите признаки сходимости несобственных интегралов для неотрицательных функций.
5. Вычислите несобственные интегралы или докажите их расходимость:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
;
д)
.
6. Исследуйте сходимость интегралов:
а)
;
б)
;
в)
;
г)
.
10. Приложения определенного интеграла
Рассмотрим некоторые задачи, при решении которых используется определенный интеграл.
10.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенного интеграла
Если требуется вычислить предел суммы, когда число слагаемых неограниченно возрастает, то в некоторых случаях можно воспользоваться определенным интегралом. Например, когда искомую сумму удается преобразовать так, чтобы она оказалась интегральной, то есть суммой вида
.
Пример. Вычислить предел
.
Решение.
Попытаемся представить выражение
в
виде интегральной суммы
.
Числа,
стоящие в скобках, представляют собой
значения функции
в
точках
,
делящих отрезок [0;1] на n
равных частей длиной
,
поэтому данная сумма является интегральной
и ее можно записать в виде
.
Предел
этой интегральной суммы при
есть
определенный интеграл
.
Таким образом, искомый предел равен
.