9. Несобственные интегралы

Рассмотрим обобщения понятия интеграла – интегралы с бесконечными пределами и интегралы от неограниченных функций. Это, по существу, новые понятия, поскольку при определении интеграла предполагалось, что отрезок интегрирования конечен, а подынтегральная функция определена и ограничена на этом отрезке. В новой же конструкции придется рассматривать пределы не только интегральных сумм, но и пределы определенных интегралов.

9.1. Интегралы с бесконечными пределами

Определение. Пусть функция определена для всех , где – некоторое число, и интегрируема на любом отрезке , где . Если существует конечный предел

,

то говорят, что функция интегрируема в несобственном смысле на промежутке . Этот предел называется несобственным интегралом с бесконечным пределом, или несобственным интегралом первого рода и обозначается

.

Обычно, если конечный предел существует, то говорят, что несобственный интеграл сходится (существует). Если же конечного предела не существует, то говорят, что несобственный интеграл расходится.

Если с > a, то несобственные интегралы и сходятся или расходятся одновременно (при условии, что существует ).

Действительно, если для любого b>a функция интегрируема, то , откуда и следует, что оба несобственных интеграла одновременно или существуют, или не существуют.

Аналогично можно определить несобственные интегралы и для других бесконечных промежутков.

Если функция определена при и интегрируема на любом отрезке , где , то .

Если же для функции существуют несобственные интегралы и , то существует и несобственный интеграл , определенный формулой

,

причем существование и значение несобственного интеграла не зависят от выбора точки .

Чтобы лучше осознать идею, лежащую в основе понятия несобственного интеграла, рассмотрим положительную убывающую на промежутке функцию .

Рис. 9.1.

Интеграл численно равен площади фигуры, изображенной на рис. 9.1. При возрастании эта площадь увеличивается, и если , то площадь может возрастать или безгранично, или оставаться ограниченной, то есть стремиться к некоторому пределу, который представляет собой площадь, заключенную между осью ОХ и кривой вправо от точки .

 Пример. Вычислить несобственный интеграл .

Решение. По определению

.

Несобственный интеграл сходится.

Иногда, при вычислении несобственного интеграла, для краткости опускается предельный переход, например:

.

На несобственные интегралы переносятся многие свойства определенного интеграла. Сформулируем эти свойства для интегралов вида . Для других видов интегралов на бесконечных промежутках эти свойства также справедливы.

1. Если интеграл сходится, С – некоторое число, то интеграл также сходится и .

2. Если интегралы и сходятся, то интеграл также сходится, и .

3. Если функции и интегрируемы при , то .

4. Пусть функция непрерывна при , функция определена, непрерывна и имеет непрерывную производную на промежутке конечном или бесконечном, где < , тогда .

Полученная формула называется формулой замены переменной в несобственном интеграле.

Доказательства перечисленных утверждений следуют из свойств определенных интегралов и пределов функций.

Часто бывает достаточно только установить, сходится интеграл или расходится, не вычисляя его значения. Для этого используются следующие признаки сходимости.

Критерий Коши. Если функция интегрируема на отрезке > , то для сходимости несобственного интеграла необходимо и достаточно, чтобы для любого сколь угодно малого положительного числа >0 существовало число такое, что для любых двух чисел > и > выполнялось неравенство

< .

Признак сравнения. Пусть функции и определены и неотрицательны при , интегрируемы на любом отрезке < и при ,тогда, если интеграл сходится, то сходится и интеграл . А если интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Замечание. Запись при означает, что существует такое число С > 0, что в некоторой окрестности точки выполняется неравенство . При этом говорят, что функция является ограниченной по сравнению с функцией в окрестности точки .

При исследовании часто используются следствия признака сравнения.

Следствие 1. Если при , интеграл сходится, то сходится и интеграл , а если интеграл расходится, то расходится и интеграл .

Следствие 2. Если при , >0 и , где 0<k< ,то интегралы и сходятся или расходятся одновременно.

Определение. Интеграл называется абсолютно сходящимся, если сходится интеграл . Несобственный интеграл называется условно сходящимся, если он сходится, а расходится.

Из сходимости интеграла следует сходимость интеграла .

Методы, при которых исследование сходимости данного интеграла сводится к исследованию другого интеграла, сходящегося лучше исходного, называются методами улучшения сходимости.

Признак сходимости Дирихле. Пусть функция непрерывна и имеет ограниченную первообразную при , функция непрерывна, дифференцируема при и монотонно убывает, причем , тогда интеграл сходится.

Доказательство. По условию, функция непрерывна, следовательно и интегрируема на любом отрезке  <   <  . – первообразная функции .

Рассмотрим интеграл и вычислим его по частям:

.

Так как функция ограничена при , то < M, где M>0 – некоторое число, тогда , поэтому .

Поскольку функция монотонно убывает, то производная при , тогда

,

поскольку . Если интегралы ограничены в совокупности при всех b>a, то интеграл сходится, откуда и следует сходимость интеграла .

Частный признак сравнения. Если при функция является бесконечно малой порядка >0 по сравнению с , то интеграл сходится при >1 и расходится при .

Замечание. Функция называется бесконечно малой n-го порядка по сравнению с при , если , где 0< <

Пример. Исследовать сходимость интеграла .

Решение. Подынтегральная функция положительна и непрерывна для всех . Определим порядок ее малости:

.

Так как , то является бесконечно малой порядка 4 по сравнению с при . Поскольку 4>1, то по частному признаку сравнения интеграл сходится.

Замечание. Сходимость интеграла можно было установить с помощью следствия 1 признака сравнения, сравнивая, например, подынтегральную функцию с функцией , интеграл от которой на промежутке сходится.