8.2. Замена переменной в определенном интеграле

Пусть требуется вычислить , где функция непрерывна на отрезке [a; b]. Введем новую переменную по формуле . Не приводя доказательства, запишем формулу замены переменных

                                     .                                                    (8.3)

При этом функции и должны быть непрерывны на отрезке [ ], концы которого и находятся из условий

Замечание. Отметим, что при вычислении определенного интеграла по формуле (8.3) не нужно возвращаться к первоначальной переменной  , но необходимо пересчитать пределы интегрирования. В некоторых случаях бывает удобнее вернуться к переменной и ее пределам интегрирования.

Пример 3. Вычислить

Решение. Сделаем замену переменной и определим новые пределы интегрирования при , при

Следовательно,

8.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле

Пусть – дифференцируемые по функции. Проинтегрируем тождество

в пределах от до :

Так как функция является первообразной для функции , то имеем

,

или окончательно

                                                                                                       (8.4)

Соотношение (8.4) называют формулой интегрирования по частям в определенном интеграле.

Пример 4. Вычислить

Решение. Обозначим тогда

Применяя формулу (8.4), получим

Пример 5. Вычислим полезный в приложениях интеграл ,

Решение.

=

=

=

В выбранных обозначениях имеем:

откуда получим рекуррентное соотношение

                                                .                                                                 (8.5)

Используя тот же прием, найдем Пользуясь соотношением (8.5), получим

, где

Обозначим для краткости произведения только четных или только нечетных натуральных чисел:

Тогда формула для примет окончательный вид

                                                                        (8.6)

Аналогично получится, что

                                                                             (8.7)

Пример 6. Покажем применение полученных формул на конкретных примерах:

1. При решении воспользовались формулой (8.6) для нечетного n = 7;

2. .

После замены переменных применяем формулу (8.7) для n = 6 . Заметим, что соотношения (8.6) и (8.7) справедливы только в пределах интегрирования от 0 до .

Контрольные вопросы и задания

1. Дайте определение определенного интеграла и укажите его геометрический смысл.

2. Укажите основные свойства, применяемые при вычислении определенного интеграла.

3. Сформулируйте теорему о среднем для определенного интеграла и поясните ее геометрический смысл.

4. Докажите, что

а) ,

б) (не вычисляя!).

5. Покажите, что является первообразной функцией для .

6. Выведите формулу Ньютона–Лейбница для вычисления определенного интеграла. Укажите связь между неопределенным и определенным интегралами.

7. Укажите формулу замены переменной в определенном интеграле и найдите целесообразные подстановки для нахождения интегралов в п. 11.

8. Выпишите формулу интегрирования по частям в определенном интеграле и укажите, как следует ее применять в примерах из п. 12.

9. Как оценить определенные интегралы, первообразная которых не выражается через элементарные функции?

Например, ?

10. Пользуясь формулой Ньютона–Лейбница, вычислить определенные интегралы:

1. .          Ответ: ;

2. .         Ответ: ;

3. .       Ответ: ;

4. .           Ответ: ;

5. .      Ответ:  ;

6. .   Ответ: ;

7. .         Ответ: 2;

8. .        Ответ: 0. (Почему?);

9. . Ответ: ;

10. .      Ответ:  .

11. Вычислить интегралы, применяя метод замены переменной:

1. .               Ответ: ;

2. .              Ответ: ;

3. . Ответ: ;

4. .         Ответ: ;

5. .       Ответ: ;

6. .       Ответ: ;

7. .          Ответ:  ;

8. . Ответ: ;

9. . Ответ:  ;

10. . Ответ:  .

12. Применяя интегрирование по частям, вычислить интегралы:

1. .             Ответ: ;

2. .          Ответ: ;

3. .     Ответ: ;

4. .        Ответ: ;

5. .           Ответ: ;

6. .   Ответ: ;

7. .   Ответ:  ;

8. .  Ответ: ;

9. .  Ответ: ;

10. .      Ответ:  .