7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Понятие определенного интеграла, введенное в предыдущих разделах, а также его свойства базируются на интегральных суммах. Если оставаться в рамках этой теории, то вычисление всякого определенного интеграла будет сводиться к вычислению некоторой суммы, а затем и к поиску предела этой суммы. При этом возникает естественный вопрос: почему некоторая сумма и совокупность первообразных, два ничем не связанных понятия, обозначаются одним и тем же словом “интеграл”? Ответом на этот вопрос является основная формула интегрального исчисления – формула Ньютона–Лейбница, устанавливающая связь между определенными и неопределенными интегралами.
Пусть
на отрезке [a;
b]
задана интегрируемая функция
.
Известно, что определенный интеграл
с
геометрической точки зрения численно
равен площади криволинейной трапеции
(см. (5.3)).
Будем
считать, что нижний предел
закреплен,
а верхний предел меняется. Тогда будет
меняться и значение интеграла, то есть
он будет функцией верхнего предела
интегрирования. Зададим любое значение
из
отрезка [a;
b]
и введем в рассмотрение интеграл с
переменным верхним пределом:
.
(7.1)
(От обозначения переменной интегрирования под знаком интеграла величина интеграла не зависит).
Если
,
то величина
численно
равна площади криволинейной трапеции
(рис.
7.1).
Очевидно, что эта площадь меняется в зависимости от изменения .
Рис. 7.1
Рассмотрим
свойства интеграла
1.
Функция
непрерывна на [a;
b].
Для
доказательства фиксируем любую точку
отрезка
и зададим приращение
.
При этом функция
получит
приращение
(свойство
5) =
Устремим
,
тогда
(свойство
2). Это и означает непрерывность функции
2. Функция дифференцируема на отрезке [a; b].
Доказательство.
Применим
теорему о среднем (свойство 9) к интегралу
Получаем,
что
,
где
Делим
обе части последнего равенства на
и
переходим к пределу при
:
так
как при
переменная
Следовательно,
в точке
существует
производная
,
причем
Таким образом, доказано важное свойство.
Свойство. Производная определенного интеграла от непрерывной функции по его верхнему пределу равна подынтегральной функции, вычисленной при верхнем пределе
=
(7.2)
Замечание.
Из
доказанного свойства следует, в частности,
что всякая непрерывная функция имеет
первообразную. Согласно подразд. 5.2 для
непрерывной на [a;
b]
функции
существует
определенный интеграл
то
есть существует функция
Так
как
то
является
первообразной для
на
отрезке [a;
b].
8. Вычисление определенного интеграла
8.1. Формула Ньютона–Лейбница
Теорема. Определенный интеграл от непрерывной функции равен разности значений любой ее первообразной, вычисленных для верхнего и нижнего пределов интегрирования:
.
(8.1)
Доказательство.
Пусть
есть
некоторая первообразная для функции
на
отрезке [a;
b].
С
другой стороны, в подразд. 5.4. установлено,
что одной из первообразных для
на
отрезке [a;
b]
является функция
,
так как для нее справедливо равенство
(7.2). Известно, что две любые первообразные
от данной функции отличаются друг от
друга на постоянное слагаемое С:
;
(8.2)
При соответствующем выборе C равенство (8.2) справедливо при всех значениях .
Подставим
в него значение
:
Следовательно,
для
любого значения
Полагая
в последнем равенстве
,
получим
.
Заменим
переменную
на
более привычную
.
Разность
принято
условно записывать в виде
.
Формула
выражающая
определенный интеграл от непрерывной
функции через неопределенный, называется
формулой Ньютона–Лейбница.
Формула (8.1) дает простой и удобный метод вычисления определенного интеграла от непрерывной функции, если известна первообразная подынтегральной функции. Только с появлением этой формулы определенный интеграл смог занять в математике то важное место, какое он занимает в настоящее время.
Рассмотрим примеры вычисления определенного интеграла.
Пример
1.
Вычислить
Решение.
Пример
2.
Вычислить
.
Решение.
