
- •Интегральное исчисление функции одной переменной
- •Оглавление
- •Введение
- •1. Понятие первообразной функции и неопределенного интеграла
- •2. Свойства неопределенного интеграла. Таблица интегралов
- •2.1. Таблица основных интегралов
- •2.2. Простейшие правила интегрирования
- •3. Основные методы вычисления неопределенного интеграла
- •3.1. Метод интегрирования по частям
- •3.2. Интегрирование выражений, содержащих квадратный трехчлен в знаменателе
- •3.3. Интегрирование рациональных дробей
- •3.4. Интегрирование некоторых классов тригонометрических функций
- •3.5. Интегрирование некоторых иррациональных функций
- •3.6. Интегрирование дифференциального бинома
- •3.7. Интегрирование выражений вида . Подстановки Эйлера
- •3.8. Обзор методов интегрирования
- •Контрольные вопросы и задания
- •4. Задачи, приводящие к понятию определенного интеграла
- •4.1. Вычисление площади криволинейной трапеции.
- •4.2. Вычисление пути, пройденного материальной точкой
- •5. Определенный интеграл
- •5.1. Основное определение
- •5.2. Условия существования определенного интеграла
- •6. Свойства определенного интеграла
- •7. Определенный интеграл с переменным верхним пределом
- •8. Вычисление определенного интеграла
- •8.1. Формула Ньютона–Лейбница
- •8.2. Замена переменной в определенном интеграле
- •8.3. Интегрирование по частям в определенном интеграле
- •Контрольные вопросы и задания
- •9. Несобственные интегралы
- •9.1. Интегралы с бесконечными пределами
- •9.2. Интегралы от неограниченных функций
- •Контрольные вопросы и задания
- •10. Приложения определенного интеграла
- •10.1. Вычисление пределов сумм с помощью определенного интеграла
- •10.2. Вычисление средних значений функции
- •10.3. Вычисление площади в декартовых координатах
- •10.4. Вычисление площади в полярных координатах
- •10.5. Вычисление площади фигуры, ограниченной кривой, заданной в параметрическом виде.
- •10.6. Вычисление длины дуги кривой
- •10.7. Вычисление объема тела по известным площадям поперечных сечений
- •10.8 Вычисление объема тела вращения
- •10.9. Вычисление площади поверхности вращения
- •10.10. Вычисление некоторых физических и механических величин с помощью определенного интеграла
- •Контрольные вопросы и задания
- •11. Приближенные методы вычисления определенного интеграла
- •11.1. Метод прямоугольников
- •11.2. Метод трапеций
- •11.3. Метод Симпсона
- •Заключение
- •Библиографический список
5.1. Основное определение
Пусть
некоторая функция
задана
при
.
Разобьем
этот интервал на
произвольных
частей точками
и
составим сумму, которая называется
интегральной суммой для функции
на
отрезке [
]:
,
(5.1)
где
,
а каждая точка
произвольно
выбрана между
и
.
Пример.
Рассмотрим
функцию
,
заданную на отрезке [0, 1]. Составим для
нее интегральную сумму вида (5.1). Для
этого разобьем отрезок [0; 1] на 5 равных
частей точками
За
точки
возьмем
крайние левые точки каждого из отрезков,
тогда
и
т. д.
Составим интегральную сумму:
Если
участок разбить на 10 частей, то получим
интегральную сумму
если
на 100 частей, то
Этот
простой пример показывает, что интегральная
сумма (5.1) меняется в зависимости от
числа элементарных участков, на которые
разбивается отрезок [a;
b]
и от выбора на каждом из них точки
.
Устремим к нулю длину наибольшего из
отрезков:
.
Определение.
Предел, к которому стремится интегральная
сумма (5.1) при
называется
определенным интегралом от функции
на
отрезке [a;
b]
и обозначается
.
(5.2)
Другими словами, если предел интегральной суммы в равенстве (5.2) конечен и не зависит от способа разбиения [a; b] и от выбора точек , то он называется определенным интегралом от на [a; b].
Геометрический
смысл определенного интеграла.
В подразд. 4.1 получено равенство (4.1), из
которого следует, что если
,
то определенный интеграл численно равен
площади S
криволинейной трапеции, ограниченной
указанной кривой, прямыми
и
осью ОХ:
.
(5.3)
Используя соотношение (4.2) из подразд. 4.2, получим формулу для нахождения пройденного пути:
5.2. Условия существования определенного интеграла
Определение. Функция , для которой на отрезке [a; b] существует определенный интеграл, называется интегрируемой на этом отрезке.
Естественно возникает вопрос: при каких условиях функция , определенная на [a; b], интегрируема на этом отрезке? Не приводя доказательств, рассмотрим эти условия.
Теорема 1. Если функция непрерывна на отрезке [a; b], то она интегрируема на этом отрезке.
Сформулируем и более общую теорему об интегрируемости.
Теорема 2. Если функция ограничена на [a; b] и непрерывна на нем всюду, кроме конечного числа точек, то она интегрируема на этом отрезке.
6. Свойства определенного интеграла
Будем предполагать, что все рассматриваемые ниже функции интегрируемы на заданных промежутках.
Свойство
1.
.
(6.1)
Для доказательства составим интегральные суммы (5.1) в обоих случаях с теми же точками деления. Они будут отличаться только знаком за счет знаков : слева >0, справа <0. Значит, в пределе получится нужное равенство.
Свойство
2.
.
(6.2)
В этом случае отрезок интегрирования равен нулю и интегральная сумма – тоже.
Свойство
3.
Постоянный
множитель можно выносить за знак
определенного интеграла: если
,
то
.
(6.3)
Доказательство:
(см.(5.2))
=
=
=
Свойство 4. Определенный интеграл от алгебраической суммы нескольких функций равен алгебраической сумме интегралов от этих функций:
.
(6.4)
Доказательство предлагается провести самостоятельно, используя равенство (5.2).
Свойство 5. Если отрезок [a; b] разбит точкой с на две части [a, c] и [c, b], то
.
(6.5)
Доказательство. Составим интегральную сумму для на [a; b]. Так как предел этих сумм не зависит от способа разбиения [a; b] на части, то рассмотрим только те разбиения, в которых точка с входит в качестве точки деления. Тогда
,
где
–
суммы, соответствующие отрезкам [a,
c]
и [c,
b].
Переходя в последнем равенстве к пределу
при
,
получим соотношение (6.5).
Рис. 6.1.
Замечание.
Свойство
сохраняется при любом взаимном
расположении точек a,
b, c.
На рис. 6.1 дана геометрическая иллюстрация
свойства 5 для случая, когда
и
a
< c < b:
площадь трапеции aABb
равна сумме площадей трапеций aACc
и cCBb.
Свойство
6.
Если
всюду на отрезке [a,
b]
функция неотрицательна
то
а
если
то
Доказательство.
В самом деле, любая интегральная сумма
для
на
[a; b]
неотрицательна, так как
Переходя
к пределу в неравенстве
,
получаем
Для
случая
на
[a;
b]
доказательство аналогичное.
Геометрический смысл утверждения очевиден.
Следствие из свойств 5 и 6. Интегрирование в симметричных пределах можно упростить, если воспользоваться формулами:
a)
,
если
–
четная функция;
б)
,
если
–
нечетная функция.
Эти утверждения наглядно иллюстрируются геометрически (рис. 6.2).
Рис. 6.2.
Свойство
7.
(Интегрирование
неравенств). Если на отрезке [a;
b]
функции
и
удовлетворяют
условию
,
то
.
(6.6)
Доказательство.
На отрезке [a,
b]
разность
,
тогда по свойству 6:
Применим
затем свойство 4:
Отсюда следует неравенство (6.6).
Если
>0
и
>0
на [a;
b],
то свойство 7 иллюстрируется геометрически
(рис. 6.3). Так как
,
то площадь криволинейной трапеции
не
больше площади
.
Рис. 6.3.
Свойство
8.
(Оценка
определенного интеграла). Если на отрезке
[a;
b]
функция удовлетворяет условию
,
то определенный интеграл удовлетворяет
неравенству
(6.7)
Доказательство. Предварительно вычислим с помощью интегральной суммы
По
условию
Проинтегрируем
данное неравенство, используя свойство
7:
.
Затем, используя свойство 3 и только что полученный результат, имеем
Подставляя их в предыдущее неравенство, получим нужное неравенство (6.7).
Если
,
то свойство имеет простую геометрическую
иллюстрацию (рис. 6.4): площадь криволинейной
трапеции aABb
заключена между площадями двух
прямоугольников
Рис. 6.4.
Свойство 9. (Теорема о среднем). Определенный интеграл от функции , непрерывной на отрезке [a; b], равен значению подынтегральной функции в некоторой “средней” точке с промежутка интегрирования, умноженному на длину этого промежутка:
(6.8)
Доказательство.
По
свойству функций, непрерывных на отрезке
достигает
своего наименьшего
и
наибольшего
значений и принимает все промежуточные
значения между
и
:
.
В силу формулы (6.7), предположив, что a<b
, имеем
Обозначим
тогда
По
свойству непрерывных функций найдется
значение
такое,
что
,
Следовательно, из равенства
(6.9)
получим нужное соотношение (6.8).
Замечание.
В
выражении (6.9)
называют
средним (средним интегральным) значением
функции
на
отрезке
Геометрический
смысл среднего значения
|
Рис. 6.5. |
Свойство
10.
Абсолютное
значение интеграла не превосходит
интеграла от абсолютного значения
функции
Доказательство.
Это
неравенство получится, если для
интегральной суммы (5.1) записать, что
абсолютное значение суммы не превосходит
суммы абсолютных значений
,
а затем перейти к пределу.
(Подумайте, когда неравенство обращается в равенство?).
Пример
1.
Оценить
интеграл
Решение.
Так как функция
возрастает
на [1; 2], то ее значения заключены в
пределах
.
Применяя затем соотношение (6.7), получим нужную оценку:
Пример
2.
Оценить
интеграл
.
Решение.
Поскольку
,
имеем
и
по свойству 8
Это
означает, что неизвестное значение
определенного интеграла заключено в
пределах от
до
Отметим, что интегралы в обоих примерах “не берутся” в элементарных функциях, поэтому вопрос об оценке является весьма актуальным.