Вариант №10

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку (1; 0.5), если для любого отрезка [1, х] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна отношению абсциссы х концевой точки к ординате.

2.2 Сосуд, заполненный до краев водой, имеет форму параболоида вращения с радиусом основания R и высотой H. В дне его имеется отверстие площадью . В течение какого времени вода вытечет из сосуда?

Указание: скорость истечения жидкости из отверстия, лежащего под столбом жидкости высотой h: вычисляется по формуле

.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через начало координат, если для любого отрезка [а, х] площадь криволинейной трапеции, ограниченной соответствующей дугой этой кривой, равна кубу ординаты концевой точки дуги.

2.2 На дне цилиндрического резервуара, наполненного жидкостью, образовалась щель. В течение первых суток вытекло 10 % содержимого. Считая скорость истечения жидкости пропорциональной высоте уровня ее в резервуаре, определить, через какое время из сосуда вытечет половина жидкости.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 ,

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений: