Вариант №8

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

1.1 Найти в полярных координатах уравнение такой кривой, в каждой точке которой тангенс угла, образуемого радиусом-вектором с касательной, равен квадрату радиуса-вектора

2.2 Коническая воронка высотой 20 см наполнена водой. Радиус верхнего отверстия 12 см. Нижнее отверстие, через которое вода начинает вытекать из воронки, имеет радиус 0,3 см. Через, сколько времени воронка опорожнится?

Указание: скорость истечения жидкости из отверстия, лежащего под столбом жидкости высотой h: вычисляется по формуле

.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнения кривых, у которых длина отрезка нормали постоянна и равна а.

2.2 В баке находится 100 л рассола, содержащего 10 кг растворенной соли. В каждую минуту в бак вливается 30 л воды и вытекает 20 л рассола, причем смесь перемешивается мгновенно. Найти закон, по которому изменяется содержание соли в баке в зависимости от времени. Какое количество соли останется в баке через 20 минут?

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 .

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений: