Вариант №6

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти кривую, для которой тангенс угла наклона ее касательной в любой точке в n раз больше тангенса угла наклона прямой, проходящей через ту же точку и начало координат.

2.2 Во сколько времени тело, нагретое до 100⁰, охладится до 30⁰ в комнате с температурой 20⁰, если до 60⁰ оно охлаждается за 10 минут (по закону Ньютона скорость охлаждения пропорциональна разности температур).

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений:

1. Определить тип дифференциального уравнения первого порядка, найти его общее решение (общий интеграл).

1.1 ,

1.2 ,

1.3 ,

1.4 ,

1.5 ,

1.6 .

2. Составить математическую модель и решить задачи:

2.1 Найти уравнение кривой, проходящей через точку (0.5;-1), если длина отрезка полуоси абсцисс, отсекаемого ее касательной, равна квадрату абсциссы точки касания.

2.2 В дне котла, имеющего форму полушара радиуса R = 43 см, образовалась пробоина площадью  = 0,2 см². Через сколько времени вода, наполняющая котел, вытечет из него?

Указание: скорость истечения жидкости из отверстия, лежащего под столбом жидкости высотой h: вычисляется по формуле

.

Объем слоя, лежащий между уровнями h и h-h, считать приближенно равным объему цилиндра с высотой |h| и радиусом основания х.

3. Решить дифференциальные уравнения, допускающие понижение порядка:

3.1 ,

3.2 ,

3.3 .

4. Решить линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами:

4.1 ,

4.2 ,

4.3 ,

4.4 .

5. Решить систему дифференциальных уравнений: