2. Цифроваяфильтрация

Цифроваяфилырация-одинизважнейшихметодовобработкиодномер­ныхимногомерныхцифровыхсигналовСпомощьюцифровыхфильтроввте­левидениирешаютсязадачиуменьшениявлиянияшумовипомех,разделениясигналовяркостиицветности,повышениясубъективногокачестваизображе­нияит.д.Приэтомиспользуютсякакодномерная,такидвумерная(простран­ственная)фильтрация.

1. Цифроваяфильтрацияодномерныхсигналов

Линейныйцифровойфильтрпреобразуетпоследовательностьотсчетовx(i)входногосигналавпоследовательностьотсчетовy(i)выходногосигналавсо­ответствиисправилом

y(i)=аоx(i)+а1х(/-1)+...+amх(i-т)+ь1у(/-1)+...+bnу(/-n). (3.17)

Значениятиnмогутбытьлюбыминатуральнымичислами.Наибольшееизчиселтиnназываетсяпорядкомцифровогофильтра.

x(n)

Рис.3.7.Структурнаясхемацифровогофильтрадляодномерныхсигналов

Коэффициентыai.qмогутбытьлюбымидействительнымичислами.какпо­ложительнымитакиотрицательными.Частьэтихкоэффициентовможетбытьравнанулю.Свойствацифровогофильтраполностьюопределяютсянаборомегокоэффициентов.

Нарис.3.7показанаструктурнаясхемацифровогофильтра,выполняющегопреобразование(3.17).Отметим,чтоэтоодинизвозможныхвариантовструк­турыцифровогофильтрасданнымнаборомкоэффициентов.Каждыйблокz-¹

выполняетзадержкусигналанаодинотсчет.Такоеобозначениезадержкисвя­заносz-преобразованием,котороеявляетсяудобнымсредствомописанияианализацифровыхфильтров.Опускаяматематическуюсторонудела,ското­ройможноознакомитьсяв[7,8],сразузапишемрезультатz-преобразованиясоотношения(3.17)

1

Y(z)=(ao+а_1z'

+...+amz·m)X(z)+(Ь1z-¹

+...+bnz·n)Y(z). (3.18)

ЗдесьХ(z)иУ(z)-z-преобразованиясигналовx(i)иу(i).Задержкациф­ровогосигналанаkотсчетовврезультатеz-преобразованиязаменяетсяум­

ножениемнаz^-k.

Найдемиз(З.18)Y(z):

-1 -m

Y(z)=8о+⁸¹z+···+amz X(z)=H(z)X(z).

1-.^h..,z^-1-...-^ЬnZ^-п

(З.19)

ФункцияH(z)называетсяпередаточнойилисистемнойфункциейцифро­

n

вогофильтра.Есливвыражениидлянеезаменитьвсеz-kнае-jk²

'.тополу­

читсякомплекснаячастотнаяпередаточнаяфункцияфильтра

HU2nf),модуль

которойявляетсяамплитудно-частотнойхарактеристикой(АЧХ)фильтра

H(2nf).Здесьf-безразмернаячастота,равнаяотношениючастотысигналакчастотедискретизацииипринимающаязначениявинтервалеотОдо0,5всо­ответствиисусловиемКотельникова.Какиваналоговойтехнике.АЧХпоказы­ваетзависимостьотношенияамплитудывыходногосигналакамплитудевход­ногосигналаотчастоты.причемвходнойсигналимеетвиддискретнойсину­соиды.

Другойважнойхарактеристикойцифровогофильтраявляетсяимпульсная

характеристикаh(n)-реакцияфильтранавходнойсигнал,вкоторомодинотсчетравенединице,авсеостальные-нулю.Операциявычисленияотсчетоввыходногосигналапо(З.17)называетсясверткойвходногосигналасимпульс­нойхарактеристикойфильтра.

Еслиизвестнывсекоэффициентыцифровогофильтравсоотношении(З.17),тоиимпульснаяхарактеристика,ипередаточнаяфункция,иАЧХмогутбытьрассчитаны.Обратнаязадача-синтезцифровогофильтра,т.е.нахож­дениекоэффициентовцифровогофильтра,имеющегозаданнуюАЧХ.Этаза­дачазначительносложнее,издесьметодыеерешениянерассматриваются.Можнорекомендоватькниги[8,9].ХорошиминструментомсинтезацифровыхфилыровможетслужитьпрограммаMatLAB[10].

Еслив(З.17)всекоэффициентыq=О,цифровойфильтрназываетсянере-

курсивным.Егопередаточнаяфункцияимеетвид

^н(ZJ=8о+81Z^-1+...+8mZ^-m.

(З_.20)

Принявх(О)=1,аостальныех(1)=1,из(З.17)получаему(О)=а₀,у(1)=а1,...,у(т)=Вт,авсеостальныеотсчетывыходногосигналаравнынулю.Следова­тельно,импульснойхарактеристикойнервкурсивногофильтраявляетсяпосле­довательностьегокоэффициентов.Реакциянервкурсивногофильтранаеди­ничныйимпульсзанимаетт+1отсчетвыходногосигнала.Поэтомунерекурсив­ныефильтрыназываютещефильтрамисконечнойимпульснойхарактеристи­кой(КИХ-филырами).Ещеодинвариантназваниянервкурсивныхфилыров-трансверсальныефильтры.

Нарис.З.8,авкачествеиллюстрациивозможностейнервкурсивныхцифро­

выхфилыровпоказанызаданнаяАЧХтрапецидальнойформыиАЧХдвухсин­тезированныхдляееполучениянервкурсивныхФНЧ.Награфикахрис.З.8погоризонталиотложеначастотасигнала,выраженнаявдоляхчастотыдискрети­зации.ПервыйФНЧ11-гопорядкаимееткоэффициентыО,ОООЗ;-0,0578;

-0,0559;0,0850;0,2974;0,4000;0.2974;0,0850;-0,0559;-0,0578;0,0003.АЧХ

этогофильтрасодержитзначительныеколебанияидалекаотидеальной.

ВторойФНЧимеетпорядок101.Егокоэффициентыздесьнеприводятся.АЧХэтогофильтрапочтисовпадаетсзаданной.Отклонениявобластисамыхнизкихчастотобусловленывыборомнеоптимальногометодасинтезафильтра.

Еслихотябыодинизкоэффициентовqнеравеннулю,цифровойфильтрна­

зываетсярекурсивным.Вэтомслучаенатекущеезначениевыходногосигнала

влияютнеrолькозначениявходногосигнала,ноиболееранниезначениявы­ходногосигнала.

1,5

0,1 0,2 0,3 0,4 0.5

а)

^{О,1 0,2} 0,3 0,4 0,5

б)

0,5

о

-----+------,_---Lг----------

^{О,1 0,2 0,3 0,4} 0,5

в)

Рис.3.8.ПримерыАЧХцифровыхфильтров

Такиефильтрыназываютещефильтрамисбесконечнойимпульснойхарак­теристикой(БИХ-фильтрами),таккакони«помнят»всепредыдущиезначениявходногоивыходногосигналов,иреакциярекурсивногофильтранаединичныйимпульснавходетеоретическидлитсябесконечнодолго.Нарис.3.8,бпред­ставленаАЧХрекурсивногоФНЧБаттервертачетвертогопорядка.Такойфильтрпредставляетсобойпоследовательноесоединениедвухрекурсивных

филыроввторогопорядка,структурнаясхемакаждогоизкоторыхсоответству­етрис.3.7.Первыйизэтихфильтровимееткоэфициенты

ао=0,0722;а1=0,1444;а2=0,0722;Ь1=0,9699; =-0,2587.

Второйфильтримееткоэфициенты

а₀₌0,0922;а1=о,1845;а₂₌0,0922;Ь1=1,2388; =-0,6078.

Остальныекоэфициентыобоихфилыровравнынулю.АЧХполученного

фильтрачетвертогопорядкаимеетчастотусреза,равную0,1частотыдискре­тизации.

Нарис.3.8,впредставленаАЧХрекурсивногорежекторногофильтравторо­

гопорядка,имеющегокоэфициенты

а₀₌0,9243;а₁₌0,1165;а₂₌0,9243;Ь₁₌-0,1165; =-0,8487.

Этотфильтримеетчастотурежекции,равную0,27частотыдискретизации,и

добротность,равную1О.Режекторныйфильтрвпоследнемпримереимеетта­куюжеструктуру,каккаждыйизФНЧвпредыдущемпримере.Изменениеха­рактераАЧХдостигаетсясоответствующимвыборомкоэффициентовфильтра.

ПовышаяпорядокцифровогофильтраможнополучатьАЧХсболеекруты­

миспадамиивообще,лучшесоответствующуюпоставленнымтребованиям.Однаконадопонимать,чтовозможностиулучшенияпараметровцифровыхфилыровнебеспредельны.Основноеограничениездесь-этоошибкикванто­ванияиокругления,возникающиеиз-законечногочисларазрядовквантованиявходногоивыходногосигналов,коэффициентовфильтраиконечнойразрядно­стиустройств,выполняющихвычисленияпоформуле(3.17).Влияниеошибокквантованияиокруглениянарезультатфильтрациивозрастаетсповышениемпорядкафильтра.

Используярекурсивныефильтры,можно,какправило,получитьнеобходи­мыепараметрыАЧХприболеенизкомпорядкефильтра,чемвслучаеприме­нениянервкурсивныхфильтров.Следовательно,требуютсяменьшийобъемЗУименьшееколичествоарифметическихопераций.Норекурсивныефильтрымогутбытьнеустойчивыми,таккаквнихестьобратныесвязи,иониболееподверженывлияниюупомянутыхвышеошибокквантованияиокругления.

Дляцифровойфилырациисигналанеобходимыпроцессор,выполняющий

умноженияисложения,иЗУ,вкоторомхранятсяотсчетывходногоивыходногосигналов,используемыеввычисленияхпо(3.17).Цифровойфильтрможетбытьреализованпрограммнонаобычномпереональномкомпьютере,микро­процессореилимикроконтроллере.Филырациязвуковыхителевизионныхсиг­наловвреальномвременичастовыполняетсяспомощьюЦПОСилиспеци­альныхБИС.

Филырацияпутемвычисленияпо(3.17)называетсяфилырациейвовре­меннойобластиВозможнотакжевыполнениефилырациивчастотнойоблас­ти.ДляэтоговыполняетсяДПФисходногосигнала,полученныйнаборкоэффи­циентовДПФпочленноумножаетсянанаборчисел.представляющихчастот­нуюхарактеристикуфильтра,послечеговыполняетсяобратноеДПФ.т.е.реа­лизуетсяструктурнаясхемаобработки,показаннаянарис.3.6.Такойметодвомногихслучаяхпозволяетдобитьсялучшихрезультатов,чемфилырациявовременнойобласти.НодлявыполненияпрямогоиобратногоДПФтелевизион­ныхсигналоввреальномвременинеобходимывысокопроизводительныевы­числительныесредства.

Необходимопомнить,чточислокоэффициентовДПФ,а,следовательно,и

числоотдельныхчастотныхсоставляющих,которыеможнообработать,равно

числуотсчетоввпреобразуемомотрезкесигнала(см.§З.1).Поэтому,чемсбольшейточностьюнадореализоватьзаданнуюАЧХ,темболеедлинныеот­резкисигналанадообрабатыватьспомощьюДПФ,аэто,всвоюочередь,при­водиткбыстромуростуобъемавычислений.

Фильтр,описанныйсоотношением(З.17),являетсялинейным.Еслинаего

входподатьсуммунесколькихсигналов,товыходнойсигналбудетсуммойсиг­налов,получаемыхпридействиикаждогоизвходныхсигналовпо-отдельности.Этосвойстволинейныхфилыровназываетсяпринципомсуперпозиции.Боль­шоезначениеимеютинелинейныефильтры,длякоторыхневыполняетсяпринципсуперпозиции.

Однимизнаиболееизвестныхвидовнелинейныхфилыровявляютсямеди­

анныефильтры.Краткопринципдействиятакогофильтраможнопояснитьследующимобразом.Дляполучениякаждогоотсчетавыходногосигналабе­ретсясоответствующийотсчетвходногосигналаинекотороеколичествопред­шествующихемуиследующимзанимотсчетоввходногосигнала.Значенияэтихотсчетовупорядочиваютсяповозрастаниюилипоубыванию.Далеебе­ретсяцентральныйпопорядкуэлементполученногонаборачисел.называе­мыймедианойэтогонаборачисел,иегозначениеприсваиваетсяотсчетувы­ходногосигнала.

Рассмотримпример.Данвходнойцифровойсигнал(числоразрядовкван­

тования8):

85,86,84,84,86,48,84,86,87,85,112,144,145,14З,145,146,14З,144.

Всигналеимеетсявыбросвнизв6-мотсчете,апосле1О-гоотсчетауровеньсигналазадвапериодадискретизацииповышается.Сигналпропускаетсячерезмедианныйфильтрсширинойокна5отсчетов.Окносмещаетсяслеванаправо.Привычислениипервыхдвухипоследнихдвухотсчетоввыходногосигналанаборчиселдополняетсядо5повторениемзначений.соответственно,первогоипоследнегоотсчетоввходногосигнала.Пустьцентрокнанаходитсяна5-мотсчете.Вокнопопадаютотсчетысозначениями86,84,84,86,48.Послеупоря­дочиванияэтотнаборчиселимеетвид48,84,84,86,86.Медианойэтогонабо­раи,следовательно,значением5-гоотсчетавыходногосигналабудетчисло

84. Аналогичновычисляютсязначенияостальныхотсчетоввыходногосигнала.

Врезультатеполучаетсявыходнойсигнал

85,85,85,84,84,84,86,85,86,87,112,14З,144,145,145,144,144,144.

Короткийотрицательныйвыбросв5-мотсчетеудален.Заметносгладилисьмелкиефлуктуациисигнала.Положительныйперепадосталсянаместе,иегокрутизнанеизменилась.ДлясравненияприведемрезультатобработкитогожевходногосигналанервкурсивнымФНЧ5-гопорядка,вкоторомвсе5коэффи­циентовравны0,2.ТакойФНЧформируетотсчетывыходногосигналапутемусредненияпо5отсчетоввходногосигнала.Правилообработкиначалаиконцасигналатакоеже,какдлямедианногофильтра.Р-езультатдействияФНЧ:

85,85,85,78,77,77,78,78,91,10З,115,126,1З8,145,144.144,144,144.

Видно,чтолинейныйФНЧнеустраняеткороткийвыброс,а«размазывает))егоnoнесколькимотсчетам.Крометого,онсглаживаеткрутойперепадвсиг­нале,чтовслучаетелевизионногосигналаможетпривестикухудшениючетко­стиизображенияпогоризонталииразмываниюграницобъектов.

Такимобразом,медианныйфильтрявляетсяхорошимсредствомподавле­ниякороткихимпульсныхпомехссохранениемрезкихперепадовсигнала.Од­нако,есликороткийвыброссигналанесеткакую-нибудьинформацию.тоэта

информациябудетпотеряна,таккакотличитьпомехуотполезнойсоставляю­щейсигналамедиэнныйфильтрнеможет.