Доверительный интервал для оценки математического ожидания при нормальном распределении св и неизвестном средним квадратическим отклонением

Вместо используется среднее квадратическое отклонение S.

Вводят новую СВ :

Можно показать, что эта СВ подчиняется распределению Стьюдента

При для нормального закона, поэтому при используют - функцию Лапласа.

Если , по специальной таблице при заданных значениях и находят , потом :

.

Выборочное уравнение регрессии

Пусть имеем два количественных признака и . В результате опыта получили пар чисел: . По этим значениям находят оценки числовых характеристик: . Для характеристики связи между и . вводят выборочный коэффициент корреляции:

Условное среднее - среднеарифметическое значение ( ), вычисленное при условии, что .

Пример 4.3. Найти условные средние .

Y X	1	3	5
2	20	30	0
4	10	20	0
6	0	0	20

.

: ,

: ,

:

- выборочное уравнение регрессии.

Если из теоретических предпосылок или экспериментальных данных известен вид функции , можно найти параметры, ее описывающие.

Если - линейна, то выборочное уравнение прямой регрессии Y на Х:

.

Это уравнение позволяет оценить при заданном значении .

Ряды динамики

Динамическим рядом называется ряд числовых показателей, характеризующих изменение общественных явлений во времени.

Динамические ряды в зависимости от вида приводимых в них обобщающих показателей можно разделить на ряды динамики абсолютных, относительных и средних величин. Основными исходными являются ряды абсолютных величин, а ряды относительных и средних величин являются производными.

Ряды динамики абсолютных величин делятся на два вида: интервальные и моментные.

Интервальным рядом называется такой ряд, каждый уровень которого характеризует размер явления за определенный отрезок времени.

Например, ряд ежемесячных доходов узла связи за год, ряд ежегодной прибыли за пятилетие и т.п.

Моментным рядом называется такой ряд, каждый уровень которого характеризует величину явления на определенный момент времени.

Например, стоимость производственных фондов на начало каждого квартала или месяца, данные о численности работников предприятия связи на первое число каждого месяца в году и т.п.

В процессе анализа динамических рядов рассчитываются следующие показатели: уровень, темп роста, темп прироста, абсолютный прирост, средний темп роста и средний темп прироста.

Абсолютное значение величины признака динамического ряда называется уровнем. Различают начальный уровень ( ), конечный уровень ( ) и средний уровень ряда ( ), который рассчитывается по средней хронологической.

В интервальном ряду, если все интервалы (промежутки между уровнями) равны, средний уровень ряда исчисляется по формуле средней арифметической простой:

где — сумма уровней ряда, n — число уровней.

Для расчета средней хронологической в моментном ряду динамики берется сумма показателей этого ряда и делится на число уровней без одного, при этом начальный и конечный уровни берутся в половинном размере, т.е.

где у₁, у₂, …, у_n — значения уровней ряда, n — количество уровней.

Темп роста (i) определяется как отношение данного уровня к предыдущему или к начальному уровню. Если берутся отношения каждого последующего уровня к предыдущему, получается цепной темп роста

.

Отношение каждого последующего уровня к начальному дает базисный темп роста

.

Темп прироста (i_пр) показывает, на сколько процентов один уровень отличается от другого

или ,

где _у и _б — абсолютный прирост.

Абсолютный прирост () исчисляют как разность уровней ряда и выражают в единицах измерения показателей ряда.

Абсолютные приросты можно исчислить за отдельные периоды ряда и как накопленные итоги с начала исследуемого периода .

Темп прироста можно вычислить и путем вычитания из значения темпа роста 100% или единицы, если темп роста выражен коэффициентом.

Можно вычислить по отдельным значениям абсолютных приростов показатель среднего абсолютного прироста. Дня этого используется формула средней арифметической простой

,

где n — число цепных абсолютных приростов.

При анализе рядов динамики важно также выяснить абсолютное содержание каждого процента прироста. Чтобы найти абсолютное содержание одного процента прироста, нужно абсолютный прирост разделить на темп прироста, выраженный в процентах,

1% прироста = .

Обобщенная характеристика интенсивности развития изучаемого явления за длительный период дается на основе средних (среднемесячные, среднегодовые) темпов ( ). Для этой цели используется формула средней геометрической:

,

где i — цепные темпы, выраженные в коэффициентах; n — число темпов.

Так как произведение цепных темпов равно базисному, то средний темп можно вычислить из базисного темпа (i_б). Формула для расчета среднего темпа роста примет такой вид:

,

где n — число уровней ряда, включая базисный.

Среднегодовой темп прироста рассчитывается на основе среднегодового роста, как разность среднегодового темпа роста и единицы (или 100, если среднегодовой темп выражен в процентах).

Пример 4.4. По данным табл. 1 вычислить основные показатели ряда динамики.

Таблица 1

Динамика междугородных телефонных разговоров

Годы	1968	1969	1970	1971	1972
Междугородние телефонные разговоры, млн.	343	386	431	480	535

Решение:

Приведенный динамический ряд является интервальным, следовательно, средний уровень ряда рассчитываем по формуле:

= 431 (млн. разг.)

Данные расчета ежегодных абсолютных приростов, темпов роста и прироста междугородных телефонных разговоров представлены в табл. 2.

Таблица 2

Показатели анализа ряда динамика

Годы	К-во межд. тел. разг., млн.	Абсолютные приросты, млн.		Темпы роста, %		Темпы прироста, %
		Цепной	базисный	Цепной	базисный	Цепной	базисный
1968	343	—	—	—	—	—	—
1969	386	43	43	112,5	112,5	12,5	12,5
1970	431	45	88	111,4	126,0	11,4	26,0
1971	480	49	137	111,3	140,0	11,3	40,0
1972	535	55	192	111,4	156,0	11,4	56,0

Среднегодовой абсолютный прирост междугородных телефонных разговоров составит:

= 48 (млн. разг.)

Среднегодовой темп роста за анализируемый период рассчитываем по средней геометрической ежегодных темпов роста

или 111,8%.

Среднегодовой темп прироста количества междугородных телефонных разговоров составил за 1968—1972 г.г. 11,8% (111,8 — 100).

Абсолютное значение одного процента прироста за анализируемый период по междугородным телефонным разговорам равно:

1% прироста = = 3,43 млн.ед.

ИНДЕКСЫ

Индексом в статистике называется относительная величина, выражающая соотношение (во времени или в пространстве) величин сложного явления, отдельные элементы которого непосредственно не соизмеримы.

С помощью индексов изучаются главным образом динамика сложного явления и контролируется выполнение плана. Индексы применяются также для характеристики изменения явлений в пространстве, для изучения связей между явлениями и для выявления роли отдельных факторов в образовании изучаемого явления.

Индексы, рассчитанные для отдельных элементов сложного явления, называются индивидуальными.

Например, индивидуальный индекс продукции покажет, как изменился объем исходящих телеграмм (или другого вида продукции) в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Индивидуальные индексы в экономической работе имеют широкое распространение. Но чаще особое значение имеют индексы, характеризующие изменение всего сложного явления в целом, так называемые общие индексы.

Для того, чтобы можно было суммировать отдельные элементы сложного явления, в обоих индексах применяется соизмерители, т.е. веса индекса.

Различают следующие формы общих индексов: агрегатный, арифметический, гармонический. Агрегатный индекс является основной формой общих индексов, а арифметический и гармонический индексы являются преобразованными из агрегатной формы и применяются при отсутствии необходимых данных для расчета агрегатного индекса.

Для агрегатного индекса характерно наличие двух основных величин: индексируемой величины, т.е. величины, изменение которой должно быть представлено с помощью индекса, и соизмерителя (веса), применяющегося для суммирования индексируемых величин.

При анализе деятельности предприятий связи чаще всего используются следующие агрегатные индексы:

а) индекс физического объема продукции

,

где q₁ и q₀ — количество продукции в натуральном выражении в отчетном и базисном периодах, р₀ — сопоставимая (неизменная) цена единицы продукции;

б) индекс себестоимости продукции

,

где z₁ и z₀ — себестоимость единицы продукции в отчетном и базисном периодах; q₁ — количество продукции отчетного периода в натуральном выражении;

в) индекс производительности труда

,

где w₁ и w₀ — производительность труда (выработка продукции в денежном выражении в единицу времени) в отчетном и базисном периодах; Т₁ — общие затраты временя на выработку продукции отчетного периода;

г) индекс заработной платы

,

где З₁ и З₀ — средняя заработная плата в отчетном и базисном периодах, Т₁ — затраты времени отчетного периода (чел-часы, чел-дни, средняя списочная численность работников).

В случае использования индексов для оценки выполнения плана в качестве базисного уровня применяются данные, установленные плановым заданием. Например, индекс выполнения плана объема продукции будет иметь вид:

,

где q_пл — количество продукция в натуральном выражении, установленное по плану.

При использовании индексов для определения планового задания уровень, установленный по плану, принимается в качестве уровня отчетного периода, т.е.:

.

Рассмотрим методику расчета агрегатного индекса на примере индекса физического объема продукции.

Пример 4.5. По данным табл. 3 рассчитать индекс увеличения объема продукции телеграфа.

Таблица 3

Изменение телеграфного обмена

Виды обмена	Объем продукции в натуральном выражении, тыс. ед.		Цена единицы продукции, коп.
	Базисный год	Отчетный год
Телеграммы:	337,0	397,0	12,0
исходящие
входящие	385,0	340,0	25,0
транзитные	18984	19741	8,3
международные	4,5	4,7	235,0

Решение:

Для определения индекса увеличения объема продукция в совокупности по всем видам обмена используется формула:

Подставляем исходные данные рассматриваемого примера:

или 103 %.

Следовательно, объем продукции телеграфа в отчетном году по сравнению с базисным увеличился на 3%. Абсолютный прирост объема продукции составил:

=1764-1708=56 (тыс. руб.).

Арифметической индекс представляет собой среднюю арифметическую величину из индивидуальных индексов и вычисляется, например, для показателя производительности труда по следующей формуле:

,

где i — индивидуальный индекс производительности труда на отдельных участках производства; T₁ — общие затраты труда на отдельных участках производства в текущем периоде.

Пример 4.6. По одному из предприятия связи имеются следующие данные.

Изменение производительности труда в отраслях связи

Отрасли связи	Средняя списочная численность работающих в отчетном периоде, чел.	Рост производительности труда в отчетном периоде по сравнению с базисным, %
Почтовая	510	9
Телеграфная	116	5
Междугородняя телефонная	81	8

Определить, как изменилась производительность труда в целом по предприятию в отчетном периоде по сравнению с базисным.

Решение:

Для определения индекса производительности труда в целом по предприятию в данном случае надо использовать средний арифметический индекс

.

Индивидуальные индексы (i) увеличения производительности труда составят: по почтовой связи 1,09; по телеграфной — 1,05 и по телефонной — 1,08, подставим эти данные и данные о численности работающих в формулу:

или 108%

Таким образом, в среднем по предприятию производительность труда увеличилась на 8%.

Гармонический индекс до своей форме является средней гармонической из индивидуальных индексов, в которой в качестве веса выступают для показателя себестоимости общие эксплуатационные расходы .

Формула гармонического индекса себестоимости продукции имеет следующий вид

Пример 4.7. Определить процент снижения себестоимости продукции в целом по предприятию.

Изменение себестоимости продукции в цехах предприятия

Цехи	Эксплуатационные расходы в отчетном периоде, тыс.руб.	Индекс себестоимости продукции
1	700	0,95
2	460	0,96
3	160	0,98
4	120	0,93

Решение:

Для решения задачи используем формулу гармонического индекса

.

В целом по предприятию себестоимость снизалась на 5%.

В процессе экономического анализа часто возникает необходимость сравнять изучаемые явления не за два, а за несколько периодов.

В этом случае индексы могут быть исчислены в двух направлениях:

– путем поочередного сравнения уровня явления каждого из рассматриваемых периодов с уровнем явления в каком-нибудь одном периоде (обычно начальном), принятом за общую базу;

– путем сравнения уровня явления в непосредственно предшествующим ему периоде.

Индексы, имеющие общую базу сравнения, называются базисными, а имеющие переменную базу сравнения — цепными индексами.

Базисные и цепные индексы могут быть исчислены как для отдельного элемента сложного явления, так и для всего явления в целом.

Между базисными и цепными индексами существует взаимосвязь: произведение цепных индексов дает соответствующий базисный индекс и, наоборот, частное от деления двух базисных индексов дает цепной индекс.

Примеры: а) по годам пятилетки рост объема продукции на предприятии связи характеризуется соответственно следующими данными: 7%, 8%, 6%, 14%, 11%. Определить, на сколько процентов увеличился объем продукции в целом за пятилетие.

Значения, характеризующие рост объема продукции за каждый год, являются цепными индексами. Взяв произведение цепных индексов, получим базисный, т.е. рост объема продукции в целом за пятилетие

или 156%.

Следовательно, за анализируемое пятилетие объем продукции увеличился на 56%.

б) в феврале по сравнению с январем производительность труда увеличилась на 6%, а в марте по сравнению с январем – на 11%. Определить, как увеличилась производительность труда в марте по сравнению с февралем.

В данном случае увеличение производительности труда по месяцам квартала характеризуют базисные индексы. Чтобы получить промежуточный цепной, надо разделить базисные индексы, т.е.

1,11 : 1.06 = 1.047 или 104,7%.

Производительность труда в марте по сравнению с февралем увеличилась на 4,7%.

Такая взаимосвязь между базисными и цепными индексам, имеется только в случае индивидуальных индексов. Для общих индексов она правомерна лишь при наличии постоянных соизмерителей.

Индексы находят широкое применение для количественной характеристики взаимосвязи между экономическими явлениями. Изменение размеров многих экономических явлений объясняется воздействием на них ряда факторов. Применение индексов позволяет установить направление действия этих факторов и количественно оценить силу их воздействия на явление в целом. Например, производительность труда определяется делением объема продукции на среднесписочное число работников. Аналогично индекс производительности труда равен частному от деления индекса объема продукции на индекс численности работников.

Подобные расчеты производятся по всем зависимым между собой показателям.

14