Статические оценки параметров распределения

1.Точечные оценки

Статистическая оценка ( ^*) неизвестного параметра – функция, зависящая от наблюдаемых значений СВ , которая дает приближенное значение параметра.

Точечная оценка - статистическая оценка, которая определяется одним числом.

Требования к оценке: оценка должна быть

1.несмещенной - оценка, математическое ожидание которой равно оцениваемому параметру при любом объеме выборки;

2.эффективной- оценка, которая при заданном объеме выборки имеет минимальную дисперсию.

3.состоятельной - оценка, которая при стремится по вероятности по оцениваемому параметру.

Генеральная средняя- среднее арифметическое значений признака генеральной совокупности.

.

Для выборки вводят выборочную среднюю:

, где -объем выборки.

.

-несмещенная, состоятельная и эффективная оценка генеральной средней.

Для интервального ряда при вычислении в качестве выбирают середины интервалов.

2.Дисперсия

Выборочная дисперсия- среднее арифметическое суммы квадратов отклонений значений признака от :

.

Так же определяется и генеральная дисперсия, только вместо используется .

Выборочная дисперсия - смещенная (заниженная) оценка, т.к. .

Чтобы ее исправить вводят т.н. исправленную дисперсию (несмещенную):

.

В качестве оценки среднего квадратического отклонения используется S.

3.Интервальные оценки. Доверительный интервал и доверительная вероятность.

При выборках малого объема и могут сильно отличаться от оцениваемых параметров.

Интервальная оценка – оценка, определенная двумя числами- концами интервала.

Например, -рост студентов группы,

: а)

б)

Оценка а обеспечивает большую надежность такой оценки , а в случае б оценка будет менее надежной, но более информативной.

Размер интервала связан с надежностью, следовательно, выбирают заведомо большую вероятность (0,9; 0,95; 0,99), такую, чтобы можно было считать достоверным такое событие.

Найдем , чтобы , где -надежность (доверительная вероятность).

Интервал - доверительный интервал, он характеризует точность (информативность оценки).

В математической статистике - не случайная величина, поэтому нельзя говорить, что попадает на доверительный интервал. Правильно сказать, что доверительный интервал покрывает неизвестный параметр с заданной доверительной вероятностью .

Доверительный интервал для оценки математического ожидания при нормальном распределении св и известном среднем квадратическим отклонением

Пусть -нормально распределенная СВ с заданным . По выборочным значениям вычислим . Найдем доверительный интервал, покрывающий с заданной вероятностью, равной .

Согласно центральной предельной теореме - также распределена нормально.

, , .

Для нормальной СВ: .

Пусть , найдем по таблице значений функции Лапласа.

, тогда доверительный интервал

Замечание. Если надо оценить с заданной точностью и надежностью , то минимальный объем выборки:

Пример 4.2. Для нормально распределенной СВ =1. Для выборки объема . Найти доверительный интервал для оценки с доверительной вероятностью, равной 0,95 .

Решение:

, . По таблице значений функции Лапласа найдем Тогда и доверительный интервал имеет границы

или .