Математическая статистика (мс)

Задача МС – создание методов сбора и обработки статистических данных, получаемых в результате наблюдения массовых случайных явлений.

Группа объектов, объединенных по некоторому качественному или количественному признаку – называется статистической совокупностью.

Различают:

1. Выборочную совокупность (выборку) – совокупность случайно отобранных объектов.

2. Генеральную совокупность – совокупность, из которой произведена выборка.

Число объектов, входящих в выборку – ее объем.

Выборка – повторная, если отобранный объект возвращается в генеральную совокупность перед следующим отбором и бесповторная, если объект не возвращается.

Выборка должна быть репрезентативной – правильно отображать пропорции генеральной совокупности.

Выборка будет репрезентативной, если её осуществлять случайным образом так, чтобы все объекты генеральной совокупности имели одинаковую вероятность попасть в выборку.

Первичная обработка статистической информации

Статистическое распределение выборки - соотношение между вариантами и соответствующими частотами или относительными частотами.

Пусть в выборке изучаемый параметр принимает значения:

		…
		…

-общее число наблюдений, - частоты,

,

- варианты, а их последовательность, записанная в возрастающем порядке- вариационный ряд.

- размах варьируемого признака.

Распределение относительных частот:

		…
		…

Такое представление информации возможно только для ограниченного числа вариантов ( ).

Если же велико (например СВ непрерывна), то область возможных значений разбивают на интервалов и подсчитывают число вариантов попавших в каждый интервал.

Такой вариационный ряд называется интервальным.

Пример 4.1. СВ- оценка на экзамене первой группы: 4, 4, 5, 3, 4, 5, 4, 3, 5, 4, 4, 2, 3, 4, 2, 3, 4, 4, 4, 3, 3, 2, 2,3, 3 ( ). Составить распределение частот.

Решение:

	2	3	4	5
	4	8	10	3

Замечание: При соответствии интервального ряда длины интервалов обычно выбирают одинаковыми, но если в один интервал попадает больше 20% вариант, его делят на несколько интервалов.

Методика наглядного представления статистической информации

Для наглядности строят различные графики статистического распределения. Ломаная, соединяющая соседние точки c координатами (х_i, m_i) - полигон частот. Для интервального ряда, в качестве выбираются середины интервалов.

Для интервального ряда чаще используется гистограмма частот или относительных частот (прямоугольники с основаниями и высотами или ):

Площадь гистограммы относительных частот равна суммы площадей прямоугольников:

.

Гистограмма относительных частот - эмпирическая характеристика плотности распределения вероятности.

Пусть - число наблюдений, при которых СВ( ), тогда

эмпирическая функция распределения вероятности:

Эта функция, определяющая для каждого значения СВ относительную частоту события, что .

Из теоремы Бернулли следует, что:

,

, а .

обладает всеми свойствами функции .

На практике важны такие числовые характеристики, как:

Мода - варианта ( ), имеющая максимальную частоту.

Медиана- варианта, делящая вариационный ряд на две части, равные по числу вариант