Понятие о центральной предельной теореме

Это ряд теорем, посвященных выяснению условий, при которых возникает нормальный закон распределения. Ляпунов показал, что в случае, когда СВ Х может быть представлена в виде суммы большого числа независимых в совокупности CВ, каждая из которых вносит незначительный вклад, то СВ распределена по нормальному закону.

.

Показательное распределение

Описывается плотностью распределения

Найдем функцию распределения

Пусть Т- случайная величина, описываемая по показательному распределению, которое дает время безотказной работы прибора. Тогда характеризует среднее число отказов в единицу времени.

.

Пусть - гарантийное время работы прибора. Найти вероятность того, что прибор проработает гарантийный срок.

функция надежности для показательного распределения, т.к. она равна вероятности, что прибор проработает время .

- характеристический признак именно показательного распределения

Пример2.14. Среднее время устранения повреждения канала мин. Соответствующее СВ Т описывается показательным распределением. Найти вероятность того, что на восстановление канала потребуется а)более 10 мин; б) от 5 до 10 мин.

Решение:

а) мин.

мин.

; .

.

б) .

Закон больших чисел

В случаях большого числа испытаний или СВ, являющихся суммами большого числа СВ имеет свойство устойчивости средних. Случайное отклонение СВ от среднего в каждом испытании при большом числе испытаний взаимно погашаются, и средний результат может предсказать с большой степенью точности. Устойчивость средних – физическое содержание закон больших чисел.

Теория вероятностей под законом больших чисел понимает ряд теорем, в которых для тех или иных условий устанавливается факт приближения средних характеристик большого числа опытов к некоторым постоянным величинам. В частности теорема Чебышева дает наиболее общий случай закона больших чисел, а теореме Бернулли – простейший.

Теорема Чебышева

Если СВ попарно независимы и их дисперсии ограничены сверху некоторыми константами С, то

Частный случай теоремы Чебышева

П усть все математические ожидания , то теорема Чебышева запишется в виде:

.

На это формуле основывается выборочный метод математической статистики. По сравнительно небольшой выборке, произведенной случайным образом, можно судить обо всей совокупности исследуемых объектов.

Теорема Бернулли

Если в каждом из n испытаний вероятность события постоянна, то, как угодно близка к единице вероятность того, что отклонение относительной частоты от вероятности по модулю (абсолютной величине) будет сколь угодно малым, если n достаточно велико.

Замечания

1. По теореме Бернулли в отдельных сериях опытов возможно отклонение относительной частоты от вероятности по модулю больше чем на , но при больших такое событие маловероятно.

2. В обычном понимании предела последовательности подразумевается, что для сколь угодно малой величины существуют такое , что для всех выполняется неравенство . Для приведенного в теореме Бернулли предела это не так, поэтому не говорят, что относительная частота сходится к вероятности, а говорят, что относительная частота сходится к вероятности по вероятности.

18