Дисперсия

В качестве характеристики рассеяния нельзя использовать отклонение, т.к. его математическое ожидание равно нулю. Из двух вариантов (и) выбора модуля отклонения и квадрата отклонения предпочтительней выбрать последний вариант.

Д исперсией СВ называется математическое ожидание квадрата отклонения данной СВ от ее математического ожидания.

Пример 2.8. Найти дисперсию СВ, заданной таблицей

	0	1	2
	0,2	0,2	0,6

Решение:

Составим ряд распределения для СВ Х².

	0	1	4
	0,2	0,2	0,6

,

.

Свойства дисперсии

1. .

2. /

.

Если , разброс СВ cX больше.

Если , разброс СВ cX меньше.

3. Для независимых и .

4. (с- постоянная).

5. .

Пример 2.9. Вычислить , если – число появления события в испытаниях.

Решение:

Найдем сначала для одного испытания

	0	1
	1-р	р

; ;

Для испытаний

; ( - независимые)

Недостаток : ее размерность равна квадрату размерности СВ и ее математического ожидания. Поэтому вводят еще одну характеристику рассеяния.

Среднеквадратическое отклонение

,

Свойство : для взаимно независимых СВ

Другие числовые характеристики смотри ниже.

Непрерывные cb

Пусть CВ Х может принимать любое значение на отрезке . Такие CВ могут иметь либо непрерывную либо разрывную функцию распределения вероятностей . В дальнейшем под непрерывной CВ будем понимать такую непрерывную CВ, которая имеет непрерывную функцию распределения.

Для непрерывных CВ функция распределения вероятностей обладает такими же свойствами, что и для дискретных. Кроме того, она обладает дополнительными свойством: вероятность того, что примет одно определенное значение равна нулю .

Доказательство:

.

Следует обратить внимание на то, что

• если событие А невозможно, то ;

• если ,то из этого не следует, что событие А невозможное.

Плотность распределения вероятности непрерывной cв (Дифференциальная функция распределения)

Плотностью распределения вероятности непрерывной CВ называют первую производную функции распределения вероятностей

.

Из этого определения следует, что является одной из первообразных .

Свойства :

1. Т.к. неубывающая функция, то .

В отличие от может быть больше единицы.

2. 

Д оказательство: т.к. -первообразная .

3. - условие нормировки (вытекает из свойства 2)

4. 

Из свойства 2 получим .Найдем вероятность того, что CВ попадает на отрезок , где – б/м приращение аргумента.

, (по теореме о среднем).

- элемент вероятности.