Простейший поток событий

Под потоком событий будем понимать их последовательность, которая появляется в случайные моменты времени.

Простейшим называется поток событий, который обладает следующими свойствами:

• стационарностью – вероятность наступления события раз за время , зависит только от этих чисел. . Вероятность не зависит от того, в какой момент начался отсчет;

• отсутствием последействия (для любых непересекающихся промежутков времени число появлений события на любом из них не зависит от того, сколько событий появилось на предыдущем промежутке);

• ординарностью (за малое время вероятность появления двух и более событий пренебрежительно мала).

Под интенсивностью потока будем понимать число событий, произошедших за единицу времени.

Тогда вероятность появления событий за время будет определяться по формуле

Пример2.3. Пусть в справочную службу за одну минуту поступает два звонка. Найти вероятность того, что за 5 минут

А) поступит 2 звонка,

Б) не менее двух звонков.

Решение:

.

А)

Б)

Функция распределения вероятностей (интегральная)

Функцией распределения вероятностей называется вероятность того, сто СВ примет значение меньшее значения аргумента функции .

Пример 2.4. Составить для СВ X (оценка на экзамене по пятибальной шкале), заданной рядом распределения

	2	3	4	5
	0,1	0,3	0,4	0,2

Решение:

Пусть , Если , .

Пусть , . Если ,

Пусть , . и так далее.

Для любой дискретной СВ график представляет “лесенку”.

Свойства :

1. предельное .

2. область изменения функции .

3. -неубывающая функция,

,

Доказательство:

,

,

, т.е. .

4. 

Числовые характеристики дискретных св

Закон распределения полностью описывает рассматриваемую СВ. Однако для многих задач практики достаточно знать только несколько чисел, характеризующих данную СВ.

К ним относятся такие числовые характеристики как математическое ожидание , дисперсия , среднее квадратическое отклонение , мода, медиана, начальные и центральные моменты распределения.

характеризует среднее значение СВ, и - разброс СВ относительно среднего.

Математическое ожидание

Математическим ожиданием дискретной СВ называется сумма произведений всех возможных значений СВ на их вероятности:

Если , получим ряд , который может сходиться или расходится. В последнем случае говорят, что СВ не имеет математического ожидания.

Вероятностный смысл

Пусть производиться опытов, в которых значение СВ

появилось раз, появилось раз, ..., появилось раз, .

Вычислим среднеарифметическое :

,

где - относительная частота.

При

Таким образом, - есть среднее арифметическое СВ X.

Пример 2.5. При подгонке деталей может потребоваться от одной до пяти проб. Вероятности этих событий даны в таблице(Х- число проб).

	1	2	3	4	5
	0,07	0,16	0,55	0,21	0,01

Найти среднее значение числа проб для правильной оценки производительности сборщика.

Решение:

.

Пример 2.6. Найти числа появлений события в одном испытании

	0	1
	1-р	р

Решение:

.

Свойства математического ожидания

1. 	1

   

2. 

X			…
			…

CX			…
			…

3. Для независимых СВ , математическое ожидание

			…
			…

			…
			…

…

…

…

…

…

…

4. Аналогично можно доказать, что (независимость не нужна)

5. (следует из свойств 2,4)

6. Отклонением называется разность между СВ и ее математическим ожиданием: .

.

Пример 2.7. Найти , где - число появлений события в испытаниях, протекающих в одинаковых условиях.

Решение:

, где -число появления события в одном i-ом испытании.

; .