Теорема сложения вероятностей совместных событий
Вероятность появления хотя бы одного из двух совместных событий равна сумме вероятностей этих событий за вычетом вероятности их совместного появления:
.
Доказательство:
(
- несовместные события)
(
и
- несовместные события) 
(
и
- несовместные события) 
Замечание: В случае вычисления вероятности трех и более совместных событий целесообразно перейти к противоположному событию.
Пример 1.11. Вероятность прохождения сигнала через каждый элемент равна 0,9. Найти вероятность того, что сигнал пройдет через цепь, содержащую три параллельных элемента.
Решение:
|
с. - сигнал проходит через -ый элемент, = 1, 2, 3, с. - сигнал прошел через цепь. Сигнал пройдет через цепь, если он пройдет хотя бы через один элемент. Значит, |
Так как,
,
,
- совместные события, приведенные выше
обе теоремы сложения вероятностей
нельзя применять. Поэтому перейдем к
противоположному событию.
с.
- сигнал не пройдет через цепь
(
,
,
- независимые события),
,
.
Алгоритм решения задач на нахождение вероятности событий
Вводим обозначения событий: неизвестного, известных, то есть событий, вероятности которых даны или легко вычисляются из условия задачи.
Выражаем неизвестное событие через известное с помощью действий сложения и умножения событий.
Переходим к вероятностям событий, не забывая проверить совместность и независимость этих событий.
Формула полной вероятности
Пусть событие
может наступить в случае появления
одного из нескольких несовместных
событий:
,
,
…
,
образующих полную группу. Тогда
вероятность события
равна сумме произведений вероятностей
событий
на условные вероятности события
,
вычисленные при условии, что соответствующее
событие
наступило:
.
События часто называют гипотезами.
(
,
,
…
- несовместные события),
(
и
- зависимые события).
Пример 1.12. В ящике находится
транзисторов первой серии и
транзисторов второй серии. Вероятность
того, что транзистор первой серии
проработает гарантийный срок -
,
второго -
.
Найти вероятность того, что взятый
наугад транзистор выдержит гарантийный
срок.
Решение:
с. - транзистор выдержит гарантийный срок
с. - выбран транзистор -ой серии,
, 
,
, 
,
Пример 1.13. В двух ящиках радиолампы. В первом – 12, из них 1 исправна. Во втором – 10, тоже 1 исправна. Из первого взята наугад лампа и переложена во второй ящик. Найти вероятность того, что взятая наугад из второго ящика лампа будет неисправна.
Решение:
с. - взятая наугад лампа неисправна,
с. - взята лампа, которая переложена из второго ящика,
с.
- взята лампа, все время лежащая во втором
ящике.
, 
, 
, 
.
По формуле полной вероятности имеем
.
Формула Бейеса
Пусть событие
может наступить при условии появления
одного из событий
,
,
…
,
образующих полную группу несовместных
событий. Их вероятности
,
,
…
известны до опыта. Допустим, что в
результате опыта событие
наступило. Как изменятся вероятности
гипотез после опыта.
- ?
- формула Бейеса.
Замечание 1: формула Бейеса - единственная формула, по которой вычисляются вероятности после опыта.
Замечание 2: За событие принимают событие, которое произошло на опыте.
Пример 1.14. Известно, что 5% мужчин и 0,25% женщин страдают дальтонизмом. Наугад выбранное лицо оказалось дальтоником. Найти вероятность того, что это мужчина, если считать число женщин и мужчин одинаковым.
Решение:
с. - выбран дальтоник, с. - выбран мужчина, с. - выбрана женщина
, 
,
, 
,
.