3) , , Поскольку один благоприятный исход- выпадение 5 очков на первом кубике и 6 на втором, второй - 6 очков на первом кубике и 5 на втором.

.

Пример 1.4. Найти вероятность того, что при произвольном наборе пяти клавиш клавиатуры компьютера получится слово «книга». Пусть число кнопок 50.

Решение:

,

,

.

Для расчета вероятности необходимо подсчитывать число элементарных исходов, которые находятся по формулам комбинаторики.

Перестановками называются комбинации, состоящие из одних и тех же различных элементов и отличающиеся порядком их размещения.

Число перестановок определяется по формуле:

. По определению , .

Размещения – это комбинации, состоящие из элементов, выбранных из различных элементов, отличающихся как составом, так и порядком элементов.

Их число определятся по формуле:

.

читается « из по ».

Пример 1.5. , , .

Сочетания – это комбинации, состоящие из элементов, выбранных из различных элементов, которые отличаются хотя бы одним элементом.

Их число определяется по формуле:

Ограниченность классического определения вероятности вызвано следующими требованиями:

1) конечности числа исходов опыта;

2) равновозможностью исходов;

3) несовместностью событий.

Конечность числа исходов можно обойти в некоторых случаях, используя геометрическое определение вероятности. Рассмотрим это на примере.

Пример 1.6. Пусть случайная точка выбирается из прямоугольника. Как определить вероятность попадания точки в овал , если нельзя отдать предпочтение ни одной точке прямоугольника?

Решение: Чем больше площадь овала, тем выше степень возможности попадания случайной точки в овал. Поэтому

Пример 1.7. В течение часа параллельный телефон занят в среднем 30 минут. Найти вероятность того, что, подняв трубку, телефон будет занят.

Решение:Поскольку из 60 минут 30 благоприятствуют событию, что телефон занят,

.

Частота или статистическая вероятность событий

Относительной частотой события в данной серии опытов называется отношение числа опытов , в которых событие наступило, к общему числу опытов :

.

Отметим, что вероятность определяется до опыта, а относительная частота - после.

При малом может значительно изменяться при переходе одной серии к другой. Однако при увеличении частота теряет свой случайный характер и обнаруживается свойство устойчивости: значение относительной частоты приближается с некоторыми колебаниями к какому-то числу, которое и принимается за вероятность.

Обычно для нахождения вероятности используются косвенные методы, когда по известной вероятности одних событий находят вероятности других. Этой цели служит ряд теорем.

Теорема сложения вероятностей несовместных событий

Вероятность появления одного из двух несовместных событий, безразлично какого, равна сумме вероятностей этих событий:

.

Доказательство:

Пусть - общее число исходов опытов,

- число исходов, благоприятствующих событию ,

- число исходов, благоприятствующих событию .

Тогда , .

Число благоприятствующих исходов событию :

.

Методом полной математической индукции можно доказать, что вероятность суммы несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий для любого конечного числа слагаемых:

.

Следствие 1: Сумма вероятностей событий, образующих полную группу несовместных событий, равна 1.

Доказательство: пусть события , , … образуют полную группу несовместных событий, тогда - достоверное событие и его вероятность . Значит .

Следствие 2: Сумма вероятностей противоположных событий равна 1.

Два противоположных события и образует полную группу. Поэтому

Эта формула чаще используется в виде