Плотность распределения вероятности cв

Вычислим вероятность попадания двумерной CВ в прямоугольник, представленный на рисунке.

(1)

Обозначая левую часть равенства через , получим

равна вероятности попадания в прямоугольник единичной площади, т.е. это плотность распределения вероятности.

Из (1) следует ,

-элемент вероятности.

Свойства :

1. т.к. - неубывающая функция по каждому из аргументов

2. вероятность попадания случайной точки в произвольную область D:

В частности, если D –прямоугольник, то эта вероятность

3. равна вероятности попадания в бесконечный квадрат, поэтому воспользуемся предыдущей формулой

4. Условие нормировки

Пример 3.3.

Решение:

, ,

,

,

.

Пример 3.4. Пусть случайная точка может попадать в прямоугольник , , причем .

Решение:

Интегральная и дифференциальная функции распределения вероятностей составляющих двумерной cв

- функция распределения составляющей Х

- функция распределения составляющей Y

(т.к. производная интеграла с переменным верхним пределом равна подынтегральной функции).

Дифференциальные функции и составляющих равны.

Следствие

Зная распределения двумерной СВ легко найти закон распределения для составляющих.

Замечание

Обратная задача в общем случае не решается, т.к. невозможно восстановить зависимость между составляющими. Эту зависимость можно описать с помощью условных законов распределения.

Условные законы распределения составляющих двумерной CВ

Дискретные СВ

По формуле Бейеса .

Пусть событие А , ,

событие В , .

.

Покажем, что сумма всех условных вероятностей равна 1.

.

Деление на в предыдущей формуле означает нормировку (перерасчет) соответствующих вероятностей единице, поскольку вероятность события .

Две CВ называются независимыми, если закон распределения одной из них не зависит от того, какое значение приняла другая СВ.

Проще проверить независимость CВ следующим образом. Если Х и Y независимые СВ, то

, , (1)

Пример 3.5. Проверить на зависимость Х и Y .

Y X	-1	0	1
1	1/8	4/8	1/8		3/4
2	1/16	1/8	1/16		1/4
	3/16	5/8	3/16		1 1

Решение:

,

Ответ: Х и Y зависимые.

Условным математическим ожиданием CВ Y при называется сумма произведений всех возможных значений Y на соответствующие условные вероятности:

.

Математическое ожидание является функцией дискретного аргумента . Функция называется функцией регрессии Y на Х.

Можно построить линию регрессии Y на Х, соединив соседние точки с координатами отрезками.

Для составляющей Х условное математическое ожидание равно

.

Пример 3.6.

Двумерная CВ задана таблицей

а) найти условный закон распределения для Y;

б) построить линию регрессии Y на Х.

X Y	-1/2	0	1
-2	0,1	0,05	0,2		0,35
-1/4	0,1	0	0		0,1
1	0	0,05	0,2		0,25
3	0,2	0,1	0		0,3
	0,4	0,2	0,4		1 1

.

Решение:

Вычислим условные вероятности по формуле заполним таблицу:

Y		-2	-1/4	1	3
X=-1/2	P	1/4	1/4	0	1/2
X=0	P	1/4	0	¼	1/2
X=1	P	1/2	0	½	0

Найдем условные математические ожидания.

;

;

.

Построим линию регрессии Y на X.

Непрерывная CВ

Введем условные плотности распределения вероятности для составляющих непрерывной двумерной СВ, заменив вероятности на плотности:

Теорема 1:

Если плотность распределения составляющей Х не зависит от того, какое значение принимает Y, то Y не зависит от Х.

Доказательство:

Пусть не зависит от Y,

;

.

Теорема 2: Условие независимости CВ Х , Y

Для того, чтобы CВ Х и Y были независимы необходимо и достаточно чтобы интегральная и дифференциальная функция распределения двумерной CВ были равны произведению соответствующих функций составляющих.

Доказательство:

(1)

необходимость:

а)

б) .

достаточность:

a)

б)

(2)

необходимость:

Выше доказано, что

,

,

.

достаточность:

Пример 3.7. Доказать, что Х и Y независимы, если .

Решение: