1.2 Метод простых итераций

Пусть — начальное приближение, выбирать которое желательно как можно ближе к искомому решению, — последующие приближения. Верхний индекс в данных обозначениях указывает номер итерации.

Если выполняется условие где — проекция точного решения на сетку, то итерационный метод является сходящимся. Оценка сходимости при этом может быть получена в виде , где с — константа, 0 < q < 1. Итерации продолжаются до тех пор, пока не выполнено условие , где — заданная точность.

Метод простых итераций записывается для системы сеточных уравнений в следующем виде: , если точка принадлежит внутренней части сеточной области, и если точка с индексами i, j принадлежит границе сеточной области. Здесь , — итерационный параметр.

1.3 Методы Якоби

Для системы (1.1.1) сеточных уравнений, полученных при использовании схемы "крест" запишем итерационный метод Якоби. Расчетные формулы для этого метода будут

с условиями на сеточной границе

Если в явном виде выразить , получим каноническую форму записи сеточного метода, правую часть берем на предыдущей итерации, левую — на текущей:

1.4 Методы Зейделя и его модификации

Достаточно эффективным оказывается метод Зейделя в различных его модификациях. Рассмотрим некоторые из них.

Поточечный (классический) метод Зейделя для решения (1.1.1) запишется

(1.4.1)

где n - номер итерации. Начальные значения сеточной функции могут задаваться произвольно. Нетрудно видеть, что влияние граничных условий в этом методе распространяется на каждом итерационном шаге на один узел сетки по соответствующей координате, поэтому сходимость оказывается достаточно медленной. Более высокой скоростью сходимости обладает блочный метод Зейделя, который записывается для (1.1.2) в виде

Если расписать его по точкам сетки, то получим следующую формулу:

(1.4.2)

Для нахождения нужно для всех его элементов (по индексу j, в направлении х₂) решить двухточечную краевую задачу (1.4.2) с известной правой частью, например методом прогонки, и полученное решение разместить на месте . Нетрудно видеть, что в этом случае влияние граничных условий по направлению х₂ распространяется значительно быстрее, чем в поточечном варианте метода, и скорость сходимости оказывается выше, особенно в случае, когда область интегрирования вытянута в направлении х₂. В ходе итерационного процесса можно чередовать «неявные» направления в (1.4.2), что может дополнительно повысить скорость сходимости.

Для ускорения сходимости метода Зейделя часто используют так называемую релаксацию решения. С этой целью к (1.4.1), (1.4.2) добавляют еще один шаг

(1.4.3) где - решение, полученное по методам (1.4.1) или (1.4.2), - итерационный параметр, причем 0 < < 2. При > 1 итерационный метод (1.4.3) называется методом верхней релаксации, при = 1 - полной релаксации и при <1 - нижней релаксации. В случае поточечного метода Зейделя метод верхней релаксации запишется

(1.4.4)

Существует оптимальное значение = , зависящее от параметров сетки и способа получения , при котором достигается максимальная скорость сходимости метода.

Так, для (1.4.4) в случае квадратной области и когда N₁=N₂=N, имеем