Показатели качества обслуживания заявки

В соответствии с формулами Литтла вычисляются следующие показатели.

Среднее время пребывания заявки в системе (первая формула Литтла)

. (8.27)

Среднее время ожидания заявки в очереди (вторая формула Литтла)

. (8.28)

Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся ко всем заявкам, как обслуженным, так и ушедшим из очереди необслуженными

. (8.29)

Среднее время обслуживания одной заявки, относящееся только к обслуженным заявкам,

. (8.30)

Пример расчета характеристик смо с ожиданием

Задана СМО со следующими параметрами

• n=2;

• λ=0,8 (заявок в минуту);

• μ=1 (заявок в минуту);

• среднее время, ограничивающее пребывание заявки в очереди, = 2 мин.

Расчетные параметры:

• нагрузка на систему

(эрлангов);

• интенсивность потока уходов

;

• приведенная интенсивность потока уходов

.

Показатели качества функционирования

Вероятность простаивания системы при указанных параметрах в соответствии с формулой (12.16) определяется следующим образом

,

где S – сумма бесконечного ряда.

Доказывается, что указанный ряд является сходящимся, в котором каждый последующий член a_k меньше предыдущего. Члены ряда a_k и сумма членов ряда S_k показаны соответственно на рис. 8.9 а) и б).

а) б)

Рис. 8.9. Члены ряда – а) и сумма ряда – б)

Поэтому сумму бесконечного сходящегося ряда S можно с определенной точностью заменить конечной суммой первых (r – 1)–го членов ряда. Конечную сумму обозначим через S_{r –1.}

Доказывается, что ошибка (остаток ряда) при такой приближенной замене будет

,

где r – номер члена ряда, начиная с которого происходит отбрасывание всех членов суммы.

Графически замена бесконечной суммы конечной суммой показана на рис. 8.10.

Рис. 8.10. Замена бесконечной суммы S конечной суммой S _{r -1}

Правило замены S на S _{r -1} с точностью до ε > 0 (точность ε > 0 задается заранее) состоит в следующем. Необходимо найти наименьшее (целое положительное) r ≥ 2, удовлетворяющее неравенству

,

и вместо S взять S _{r -1} с найденным r.

Итак, вероятность простоя системы определяется для рассматриваемого примера соотношением

. (8.31)

Найдем сумму S с точностью до ε=0,01.

Для этого используется неравенство

.

Подставляя значение ρ=0,8 и β=0,5, имеем

.

Поскольку е^1,6=4,953 ≈ 5 получаем

.

Найдем наименьшее целое положительное r ≥ 2, удовлетворяющее полученному неравенству.

Вычисленные значения отношения представлены в табл.8.8.

Таблица 8.8

r	2	3	4	5	6	7	8
	1,28	0,683	0,273	0,087	0,023	0,005	0,001

При r=8 имеем, что величина = 0,001 < 0,002. Таким образом, найдено, что r=8. Поэтому в качестве приближенного значения суммы бесконечного ряда S с точностью до ε=0,01 можно взять сумму S₇ первых семи его членов. Обозначим члены этого ряда через a_k. Тогда, с учетом того, что суммирование членов ряда осуществляется начиная с k=n + 1=3, имеем

S₇=a₃ + a₄ + a₅ + a₆ + a₇ + a₈ + a₉.

Сумма первых (r-1)-го членов ряда определяется в соответствии с формулой (8.32) следующим образом

. (8.32)

Для S₇ при n=2 имеем

.

Вычисляем члены ряда:

при k=3 переменная l =, т.к.l=n + 1=2 + 1=3,

;

k=4, переменная l =,

;

k=5, переменная l =,

;

k=6, переменная l =,

;

k=7, переменная l =,

;

k=8, переменная l =,

;

k=9, переменная l =,

.

Итак

S S₇=0,32 + 0,085 + 0,02 + 0,004 + 0,0007 + 0,0001 + 0,00002=0,42982 0,43.

Сумма первых (r-1)-го члена ряда может быть также определена в соответствии с формулой (8.33) следующим образом

. (8.33)

Для S₇ имеем

.

Вычисляем члены ряда

При k=1 переменная l=и

.

Если k=2, то l=,

.

Остальные члены ряда вычисляются подобным же образом

а₃=0,020, а₄=0,004, а₅=0,0007, а₆=0,0001.

Последний член вычисляется при k=7, l=,

а₇=0,00002.

Величина суммы

S S₇=0,42982 0,43

Подставляя найденное значение S в формулу для вероятности простаивания системы (8.31), получаем:

.

Зная вероятность P₀, определяем величину

.

Поскольку n=2, величина k принимает значения 1 и 2. Поэтому вычисляем

,

.

Далее определяем следующие показатели:

Среднее число занятых каналов (или, что тоже самое, среднее число заявок под обслуживанием).

.

Среднее число заявок в очереди

.

Среднее число заявок в системе - как сумма среднего числа заявок в очереди и под обслуживанием

.

Абсолютная пропускная способность

.

Относительная пропускная способность

.

Вероятность обслуживания

P_обс=Q=0,950.

Вероятность ухода заявки из системы (вероятность необслуживания, отказа)

Р_отк=Р_ух=Р_н=1 – Р_обс=1 – 0,95=0,05.