Определение показателей качества смо с отказами

Вычисление показателей качества функционирования и качества обслуживания осуществляется с помощью компьютерной программы Erlang 2. Программа написана на языках Паскаль и С++ и приведена в Приложениях П 5.1 и П 5.2.

Ниже приведены формулы, составляющие основу алгоритма программы Erlang 2, и приводятся результаты расчета примера.

Показатели качества функционирования

Вероятность отказа

,

где .

Вероятность обслуживания

Р_обс=1 – Р_отк .

Относительная пропускная способность

Q=Р_обс . (8.7)

Абсолютная пропускная способность

A=λ  Q . (8.8)

Среднее число занятых каналов может быть определено двумя способами

(8.9)

или

. (8.10)

Коэффициент загрузки каналов

. (8.11)

Среднее число каналов свободных от обслуживания

n₀₌n – K_ср . (8.12)

Коэффициент простоя каналов

. (8.13)

Показатели качества обслуживания заявки

Среднее число заявок в системе

. (8.14)

Среднее время пребывания заявки в системе (первая формула Литтла)

. (8.15)

Пример расчета

Расчет производится для случая n=3, λ=20, μ=10, ρ=2

Показатели качества функционирования

Вероятность отказа

.

Вероятность обслуживания

Р_обс=1 – Р_отк=1 – 0,211=0,789.

Относительная пропускная способность

Q=Р_обс=0,789.

Абсолютная пропускная способность

А=λ  Q=20  0,789=15,78.

Среднее число занятых каналов

.

С учетом того, что А=λ  Q=λ  (1 – Р_обс) имеем также, что

.

Другой способ определения К_ср основан на использовании формулы вычисления среднего значения случайной величины, а именно

.

В рассматриваемом случае имеем данные, представленные в табл.8.7.

Таблица 8.7

k	Pk	k  Pk
0	0,158	0
1	0,316	0,316
2	0,316	0,632
3	0,211	0,633

В результате суммирования значений, представленных в последнем столбце получаем, что

.

Коэффициент загрузки каналов

.

Среднее число каналов свободных от обслуживания

n₀=n – К_ср=3 – 0,158=1,422.

Коэффициент простоя каналов

.

Показатели качества обслуживания заявки

Среднее число заявок в системе для СМО Эрланга

.

Тогда в соответствии с первой формулой Литтла

.

Тема 8.2. Анализ системы массового обслуживания с ограниченным временем ожидания

Определение показателей качества СМО с ограниченным временем ожидания (с нетерпеливыми заявками)

Параметры СМО

• число каналов обслуживания – n;

• интенсивность входящего потока – λ;

• производительность одного канала, иначе – интенсивность потока обслуживаний – μ;

• максимальное число мест в очереди m=+ ∞;

• ограничение на время ожидания заявки в очереди – случайное время – t_ож;

• среднее значение ограничения времени пребывания заявки в очереди – .

Расчетные параметры

• интенсивность потока уходов заявки из очереди

;

• показатель нагрузки СМО

;

• показатель нагрузки, приходящейся на один канал

;

• приведенная интенсивность потока уходов

.

Показатели качества функционирования СМО

Эти показатели зависят от трех параметров: n, ρ, β.

Вероятность того, что все n каналов свободны (вероятность простаивания всей системы)

(8.16)

или

. (8.17)

Вероятности состояний

. (8.18)

Среднее число занятых каналов (среднее число заявок под обслуживанием)

. (8.19)

Среднее число заявок в очереди

. (8.20)

Среднее число заявок в системе определяется как сумма среднего числа заявок в очереди и под обслуживанием

. (8.21)

Абсолютная пропускная способность

. (8.22)

Относительная пропускная способность

. (8.23)

Вероятность обслуживания

Р_обс=Q. (8.24)

Вероятность ухода заявки из системы

Р_ух=1 - Р_обс. (8.25)

Вероятность отказа

Р_отк=Р_ух=Р_н . (8.26)

В СМО с ожиданием вероятность отказа есть вероятность ухода заявки из очереди после того как превышено ограничение на время ожидания в системе, все каналы которой заняты обслуживанием. Иногда эту вероятность называют вероятностью того, что заявка покинет систему необслуженной и обозначают через Р_н.