Многоканальная смо с отказами

Впервые такая модель была исследована датским математиком А. К. Эрлангом в связи с развитием телефонных систем.

В 1909г., а затем в 1917г., А. К. Эрланг опубликовал важные результаты по оценке характеристик этих систем в установившемся режиме.

Граф состояний n- канальной СМО с отказами представлен на рис.7.40.

Рис. 7.40.Граф состояний многоканальной СМО с отказами

СМО может находится в одном их следующих n+1 состояний:

S₀– всеnканалы свободны;

S₁– занят только один канал;

…

S_k– занятыkканалов;

…

S_n– заняты всеnканалов.

Переходы слева направо, из низших состояний (k) в высшие (k+1), происходят с одной и той же плотностью потока λ. В обратном направлении плотность потока уменьшается отnµ (могут освободиться сразуnканалов) до µ (может освободиться один канал).

Составим в соответствии с правилом А. Н. Колмогорова систему линейных алгебраических уравнений относительно вероятностей состояний.

На графе состояний системы указано, что переход из состояния S₁вS₀происходит с интенсивностью µ, а изS₂вS₁– с интенсивностью 2µ .

Это объясняется тем, что состояние S₂– это состояние системы, в котором заняты (работают) два канала.

Освобождение каждого из них происходит с интенсивностью µ, поэтому освобождение либо одного из них (первого), либо другого (второго) происходит с суммарной интенсивностью 2µ.

Для многоканальной СМО с отказами имеем следующие интенсивности переходов:

λ₀= λ1=…=λ_k-1=…= λ_n-1= λ ;

µ₀=µ;

µ₁=2µ;

---------

µ_k-1=kµ;

---------

µ_n-1=nµ.

При этих интенсивностях в соответствии с формулами решения уравнений для схемы ''гибели и рождения'' получаем следующие соотношения для α_k, определенные через ρ

α₀₌1

;

-----------------------------------------

;

-----------------------------------------

.

Вероятности состояний с учетом того, что α₀=1 записываются в виде:

;

P_k=α_k  P₀;

P_n=α_n  P₀.

Подставив в выражение для вероятностей состояния соотношение, определяющее α_kчерез ρ, и учитывая, чтополучаем формулы Эрланга.

;

, k=1,n;

.

Задача.

Задана СМО с n=2 и=1.

Решение:

.

.

.

Главное в содержательном модуле 7

1. Система массового обслуживания – это система, в которой в некоторые (в основном, случайные) моменты времени поступают так называемые требования, над которыми совершаются однотипные операции.

2. Исследованием СМО занимается теория массового обслуживания (ТМО), основы которой были разработаны датским математиком А.К.Эрлангом в начале ХХ века.

3. Основополагающую роль среди аналитических моделей СМО играет модель Эрланга. Это модель марковской многоканальной СМО с отказами.

4. Основными элементами СМО являются:

• источники заявок;

• входящий поток заявок;

• очередь;

• каналы обслуживания;

• выходящий поток обслуженных заявок;

• поток отказов, т. е. поток необслуженных заявок.

5.Важнейшими параметрами СМО являются:

• количество каналов обслуживания;

• среднее время обслуживания одной заявки;

• приведенная интенсивность потока заявок;

• приведенная интенсивность потока «уходов».

6. Наука, изучающая СМО, как уже указывалось, называется теорией массового обслуживания (ТМО). Предметом ТМО являются СМО.

Задачи ТМО состоят в установлении зависимостей между показателями качества и эффективности СМО и параметрами системы, а также оптимизация СМО. Целью ТМО является выработка рекомендаций по повышению качества и эффективности СМО.

7. Задачи, которые решаются при исследовании СМО, можно разделить на четыре типа:

• определение основного показателя качества СМО – вероятности отказа;

• определение показателей качества функционирования системы и качества обслуживания заявок;

• оценка экономической эффективности СМО;

• определение приемлемого или оптимального варианта построения СМО.

8. Простейший поток событий – это поток, у которого количество требований, поступивших за некоторый промежуток времени, подчиняется закону Пуассона, а интервал времени между двумя последовательными заявками – экспоненциальному закону распределения.

Простейший поток удовлетворяет трем условиям:

• стационарности;

• отсутствие последствия;

• ординарности.

9. Марковский случайный процесс – это процесс скачкообразного перехода системы из одного состояния в другие при условии, что поток требований и поток обслуживания являются простейшими. Для марковского процесса характерно то, что будущее состояние системы зависит только от ее состояния в настоящем и не зависит от прошлого.

10. Поведение системы с марковскими процессами описывается дифференциальными уравнениями А.Н.Колмогорова.

Уравнения Колмогорова – это особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

11. Классификация СМО может быть осуществлена по многочисленным признакам. К числу важнейших признаков относят степень сложности структуры системы и характер очереди.

По первому признаку СМО разделяются на:

• простые;

• сложные.

По второму признаку СМО разделяются на три класса:

• с отказами;

• с ожиданием;

• с ограниченным ожиданием.

Среди СМО последнего класса выделяют:

• СМО с ограничением на время ожидания;

• СМО с ограничением на длину очереди.