Общие формулы решения системы алгебраических уравнений Колмогорова для схемы ''рождения и гибели''

После этапа составления системы алгебраических уравнений следует этап их решения.

Так, для, одноканальной СМО с интенсивностью входящего потока λ=λ₀₁и интенсивностью обслуживания µ=λ₁₀ первые два уравнения одинаковы и могут быть записаны в виде:

P₀∙λ=P₁∙µ .

Из нормировочного условия

P₀+P₁=1

имеем, что P₁=1–P₀.

Подставляя P₁в первое уравнение, получаем:

P₀ ∙ λ=(1–P₀) ∙ µ=µ –P₀ ∙ µ

или

P₀(λ+µ)=µ,

откуда следует, что

. (7.25)

Аналогичным образом находим, что

. (7.26)

С ростом сложности СМО, с увеличением количества уравнений, возрастает и сложность решения.

Однако, для схемы ''рождения и гибели'' нет необходимости решать систему алгебраических уравнений. Для этой схемы имеются общие формулы, позволяющие вычислять вероятности состояний. Получим эти формулы.

Размеченный граф состояний для схемы ''рождения-гибели'' показан на рис.7.38.

Обозначим интенсивности процесса рождения через λ_i, а интенсивности процессов гибели через µ_i , гдеiпринимает значение от 0 доn-1

Рис. 7.38.Граф состояний для схемы «рождения-гибели»

Пользуясь указанным выше правилом, составим уравнения для каждого состояния.

Для состояния Soимеем:

λ₀P₀= µ₀P₁

Для состояния S1

(λ₁+µ₀) P₁₌λ₀ P₀ + µ₁ P₂.

Преобразуем полученное уравнение с учётом предыдущего уравнения для состояния So

(λ₁+µ₀) P₁₌µ₀ P1 + µ₁ P₂

В результате имеем

λ₁ P₁₌µ₁ P2.

Далее совершенно аналогично получаем

λ2 P2=µ₂ P₃

Таким образом, общая формула имеет вид

λ_k-1 P_k-1=µ_k-1 P_k,

где kпринимает все значения от 1 доn.

Итак предельные вероятности удовлетворяют уравнениям

λ₀ P₀₌µ₀ P₁

λ₁ P₁₌µ₁ P₂

-----------------

λ_к-1 P_к-1=µ_к-1 P_k

-----------------

λ_n-1  P_n-1=µ_n-1  P_n

P₀ + P₁ + P2 + … +P_n=1

Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения выразим P₁черезP₀

.

Из второго с учетом первого, получим

.

Из третьего с учётом второго, находим

.

Для вероятности P_nимеем

.

Таким образом, вероятности Р₁,P₂, …,P_nвыражаются через вероятностьP₀.

Подставляем эти выражения в нормировочное условие. Вынося за скобку P₀, получаем

.

Отсюда получаем выражение для Po

.

Полученные соотношения можно представить в более компактной форме. Обозначим сомножители, представляющие отношение произведений интенсивностей через α_k, где

, k=1,2,..,n.

Тогда P_k=α_k P₀.

Величина P₀=.

Если принять, что

(7.27)

то тогда справедливы следующие соотношения

P₀=,.. (7.28)

P_k=α_k P₀,. (7.29)

Рассмотрим применение полученных формул, определяющих решение системы алгебраических уравнений.

Тема 7.6. Модель Эрланга Одноканальная смо с отказами

Размеченный граф состояний для этой системы имеет вид, показанный на рис.7.39.

Рис. 7.39.Граф состояний одноканальной СМО с отказами

Согласно формулам, определяющим решение системы алгебраических уравнений Колмогорова для схемы ''рождения и гибели'', при n=1, имеем,P₁=α₁P₀. Индексkпринимает значенияk=0 иk=1 и, следовательно:

P₀=

P₁=α₁P₀

Согласно соотношению (7.27), имеем

В результате, получаем

α₀=1,

,

,

.

Если разделить числитель и знаменатель на µ, то с учётом того, что , имеем

; (7.30)

. (7.31)

Ранее были представлены функции P₀(t) иP1(t), определяющие переходный процесс в одноканальной СМО.

Функции Po(t) иP1(t) экспоненциально с постоянной времениприближаются к своим предельным состояниями.

Переходный процесс в системе заканчивается за время, равное примерно 3Т.

С учётом того, что и, имеем также формулы

;

.

Характеристики функционирования одноканальной СМО с отказами определяются следующим образом

1. Вероятность того, что поступившая заявка будет принята на обслуживание равна вероятности того, что канал свободен, т.е.

.

2. Вероятность отказа заявки в обслуживании равна вероятности занятости канала, т.е.

.

3. Относительная пропускная способность

Q=Pобс.

4. Абсолютная пропускная способность

.

Предельная величина А в функции λ равна

.

5. Среднее время пребывания заявки в системе

.