Исходные данные

Интенсивность потока λ=2 вызова/мин.

Интервал времени t=3 мин.

Число событий простейшего потока за время t

а) k=4;

б) k<4;

в) k>4.

Алгоритм решения задачи

Вероятность появления k событий простейшего потока за время tпри интенсивности потока λ определяется формулой Пуассона

.

Решение

а) Искомая вероятность того, что за 3 мин. поступит четыре вызова

.

б) Событие ''поступило менее четырех вызовов'' произойдет, если наступит одно из следующих несовместных событий:

1. поступило три вызова;

2. поступило два вызова;

3. поступил один вызов;

4. не поступило ни одного вызова.

Эти события несовместны, поэтому применима теорема сложения вероятностей несовместных событий:

Р₃(к<4)=Р₃(3)+Р₃(2)+Р₃(1)+Р₃(0)==e^-6(36+18+6+1)=0.0025 ∙ 61= 0.1525.

в) События ''поступило менее четырех вызовов'' и ''поступило не менее четырех вызовов'' противоположны, поэтому искомая вероятность того, что за 3 мин поступит не менее четырех вызовов

Р₃(k>4)=1- Р₃(k<4)=1-0.1525=0.8475

Экспоненциальный (показательный) закон распределения

Показательным (экспоненциальным) называется распределение вероятностей непрерывной случайной величины Х, которое определяется плотностью вероятности

f(t)=λe^-λt(7.17)

при t>0, где λ- параметр распределения.

Функция распределения показательного закона

F(t)=1-e^-λt. (7.18)

Отметим, что F(t) иногда называют интегральным законом распределения.

Плотность распределения при λ =5 определяется соотношением f(t)=5 ∙e^-5t.

Значение этой функции приведены в табл.7.5.

Таблица 7.5

t	0	0,1	0,2	0,4	0,6
f(t)	5	3,03	1,84	0,676	0,25

График функции приведен на рис.7.26.

Рис. 7.26.Плотность вероятности случайной величины, подчиняющейся экспоненциальному закону

Закон равномерной плотности

Непрерывные случайные величины, подчиняющиеся этому закону, во-первых, находятся в пределах некоторого определенного интервала, и во-вторых, в пределах этого интервала все значения случайной величины имеет одну и ту же плотность вероятности.

На отрезке (0,1) плотность вероятности для этого закона

(7.19)

Закон распределения

Графики функций f(t) и закона распределенияF(t) показаны на рис.7.27.

а) б)

Рис. 7.27.Плотность вероятности (а) и функции распределения (б) для закона равномерной плотности

Тема 7.5. Уравнения Колмогорова Дифференциальные и алгебраические уравнения Колмогорова

Андрей Николаевич Колмогоров (1903-1987г.г.) – выдающийся математик, академик, профессор МГУ, заложил основы теории марковских случайных процессов с непрерывным временем.

Уравнения Колмогорова – это особый вид дифференциальных уравнений, в которых неизвестными функциями являются вероятности состояний.

Эти уравнения описывают поведение СМО, в которых процессы являются марковскими с дискретными состояниями S₀,S₁,S₂…S_nи с непрерывным временем.

СМО будет марковской, если оба воздействующих на неё потока – заявок и обслуживаний – являются простейшими.

Обозначим через P_k(t) вероятность того, что в момент времениtсистема находится в состоянииS_k.

Для любого момента времени справедливо нормировочное условие (7.12), состоящее в том, что сумма вероятностей всех состояний равна единице.

Уравнения Колмогорова рассмотрим на примере одноканальной СМО с отказами. Такая система может находиться в двух состояниях S₀иS₁соответственно с вероятностямиP₀(t) иP₁(t).

В подобной системе S₀– состояние, когда система свободна от обслуживания, аS₁– состояние, когда система занята обслуживанием.

Размеченный граф состояний системы показан на рис. 7.28.

Рис. 7.28.Размеченный граф состояний одноканальной СМО с отказами

Составим дифференциальные уравнения, решение которых определяет процессы изменения вероятностей состояния во времени.

Вид этих процессов в зависимости от соотношения интенсивностей λ и µ показан на рис.7.29, 7.30 и 7.31.

Рис. 7.29.Процесс изменения вероятностей состояний приλ>µ

Рис. 7.30.Процесс изменения вероятностей состояний приλ=µ

Полностью весь процесс, т. е. в переходном и установившемся режиме характеризуется дифференциальными уравнениями Колмогорова, а в установившемся режиме - алгебраическими уравнениями.

Зафиксируем момент времени t, в который система с вероятностьюPo(t) находится в состоянииSoи с вероятностьюP1(t) в состоянииS1.

Дадим времени малое приращении Δt. Тогда в момент времениt+ Δtсостояние системы будет характеризоваться вероятностямиPo(t+Δt) иP1(t+Δt). Рассматриваемая ситуация представлена на рис. 7.31.

Рис. 7.31.Процесс изменения вероятностей состояний приλ<µ

Найдем вероятности Po(t+Δt) иP1(t+Δt). Существенным моментом при нахождении этих вероятностей является предположение о том, что потоки заявок и обслуживания являются простейшими.

Для простейшего потока, как известно, распределение интервалов времени между событиями является экспоненциальным. Пусть для потока требований закон распределения при интенсивности потока λ имеет вид:

F(t)=1-e^-λt,

а плотность распределения записывается следующим образом

f(t)=λe^-λt.

Аналогично для потока обслуживания с интенсивностью µ имеем:

F(t)=1-e^-µt ,

f(t)=µe^-µt.

Первоначально определим вероятность Po(t+Δt), т. е. найдем вероятность того, что в моментt+Δtсистема будет находится в состоянииSo.

Возможны два варианта событий. Событие А состоит в том, что система в момент времени tнаходилась в состоянииSoи за время Δtне перешла из него вS1, поскольку не пришло ни одной заявки.

Событие В заключается в том, что в момент времени tсистема находилась в состоянииS1, при этом за время Δtканал освободился и система перешла в состояниеS₀.

Графически ситуация представлена на рис.7.32.

Рис.7.32.Вариант А – система не перешла изS₀вS₁; вариант В – система перешла изS₁вS₀

Итак, система будет находится в состоянии S₀, если произошло событие А или событие В.

Событие А и В не могут произойти одновременно, т. е. они являются несовместными.

В соответствии с теоремой сложения вероятностей имеем, что вероятность суммы двух несовместных событий равна сумме вероятностей этих событий

P(C)=P(A+B)=P(A) +P(B).

Отметим, что суммой двух событий А и В называется событие С, состоящее в появлении хотя бы одного из событий А и В.

В результате имеем, что вероятность нахождения системы в состоянии S₀в моментt+Δt

P₀(t+ Δt)=P(A)+P(B).

Вероятности P(A) иP(B) найдем с использованием теоремы умножения вероятностей.

Известно, что произведением двух событий называется событие D, состоящее в совместном выполнении событийD1 иD2.

Событие D1 называется независимым от событияD2, если вероятность событияD1 не зависит от того, произошло событиеD2 или нет.

Для независимых событий в соответствии с теоремой умножения вероятностей имеем, что:

1. P(D)=P(D1∙D2)=P(D1)∙P(D2).

Найдем вероятности P(A) иP(B).

Событие А является сложным событием, состоящим из двух независимых событий. Первое состоит в том, что в момент tсистема находилась в состоянииS₀. Вероятность этого событияPo(t).

Второе событие заключается в том, что за время Δtне пришло ни одной заявки. Вероятность этого события обозначим черезPнз. Тогда имеем, что

2. P(A)=P₀(t) ∙ Pнз(Δt).

Событие Bтакже состоит из двух независимых событий. Первое – система в моментtнаходилась в состоянииS1 с вероятностьюP1(t) и второе – за времяtканал освободился и система перешла в состояниеSo. Вероятность второго события обозначим черезPосв(Δt)

Тогда

3) P(B)=P1(t) ∙Pосв(Δt).

Определим вероятности Pнз(Δt) иPосв(Δt).

При этом используем следующие соотношения. Вероятность того, что за время Δtпроизойдет событие, подчиняющиеся экспоненциальному закону с интенсивностью λ

4) F(Δt)=1-e^-λΔt.

Вероятность противоположного события, состоящего в том, что событие не произойдет

5) (Δt)=1-[1-e^-λΔt]=e^-λΔt.

С учетом того, что Δt– малая величина, имеем приближенные соотношения

e^-λΔt ≈ 1-λ∙Δt

и

1-e^-λΔt ≈λ∙Δt

Замена функции e^-λΔtна приближенное значение 1-λ∙Δtграфически показана на рис.7.33.

Рис. 7.33.Замена экспоненциальной функции на линейную

Следовательно, вместо формул 4 и5 имеем:

F(Δt) =λ∙Δt

и (Δt)=1- λ∙Δt.

Если интенсивность входящего потока λ, а интенсивность потока обслуживания µ, то получаем следующие соотношения:

вероятность неприхода заявки

Pнз(Δt)=(Δt)≈1- λ∙Δt

и вероятность освобождения канала

Pосв(Δt)=F(Δt)= μ∙Δt.

Эти соотношения подставляем в формулы 2 и 3. В результате получаем соотношения для P(A) иP(B).

P(A)=P₀(t) ∙Pнз(Δt)=P₀(t) ∙ (1-λ∙Δt)

P(B)=P₁(t) ∙Pосв(Δt)=P₁(Δt)=P₁(t) ∙ (μ∙Δt).

Следовательно

P₀(t+Δt)=P(A)+P(B)=P₀(t) ∙ (1-λ∙Δt)+P₁(t)(µΔt).

Графически рассматриваемая ситуация показана на рис.7.34, где представлены плотности вероятностей для потоков событий с интенсивностями λи µ.

Преобразуя полученное уравнение, имеем

P₀(t+Δt)=P₀(t)-P₀(λΔt)+P1(t)(µΔt).

Переносим P₀(t) в левую часть и делим на Δt.

(P₀(t+Δt)-P₀(t))/Δt= -P₀(t) ∙ λ+P1(t)µ.

Поскольку левая часть в пределе при Δt0 есть производнаяP₀(t), получаем следующее дифференциальное уравнение

₀(t)= -P₀(t) ∙λ+P₁(t) ∙µ. (7.21)

Аналогичным образом получаем для P₁(t) дифференциальное уравнение

₁(t)= -P₁(t) ∙µ+P₀(t) ∙λ. (7.22)

В результате имеем систему дифференциальных уравнений А. Н. Колмогорова.

Рис. 7.34.Получение выражений для вероятностей событий через линейные соотношения

Если записать уравнения без указания аргумента, т. е. вместо P₀(t) записатьP₀, а вместоP₁(t) записатьP1, то система принимает следующий вид:

(7.23)

С учетом обозначений λ₌λ₁₀и µ=λ₁₀система уравнений принимает вид

(7.24)

А. Н. Колмогоровым получено общее правило составления дифференциальных уравнений, характеризующих процессы в марковских системах.

Эти уравнения составляются на основании размеченного графа состояний.

Для одноканальной системы с отказами граф состояний показан на рис.7.35.

Рис. 7.35.Граф системы с двумя состояниями

Правило составления дифференциальных уравнений состоит в следующем. В левой части каждого уравнения стоит производная вероятности какого-то (k-го) состояния.

В правой части находятся слагаемые, представляющие собой произведения вероятностей на интенсивности соответствующих потоков.

Если поток направлен в данное состояние, то слагаемое берется со знаком плюс, а если из данного состояния, то со знаком минус.

Для одноканальной системы с отказами имеем вытекающие из этого правила уравнения со следующей структурой.

производные выходящие входящие

вероятностей потоки потоки

Нормировочное условие

Po+P₁=1.

Ранее указывалось, что решение дифференциального уравнения Колмогорова представляет значительные математические трудности, и практически используются решения для стационарного режима.

В теории случайных процессов показывается, что существуют предельные (финальные) вероятности состояний, характеризующие стационарный или установившийся режим работы СМО.

Поскольку предельные вероятности постоянны, то заменив в уравнениях Колмогорова производные нулевыми значениями, получаем систему алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим СМО.

Такую систему уравнений составляют на основании размеченного графа состояний в соответствии со следующими правилами:

• слева от знака равенства в уравнении стоит предельная вероятность P_kрассматриваемого состоянияS_k, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих систему из данного состоянияS_k(выходящие стрелки);

• справа от знака равенства стоит сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в состояние S_kсистемы, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят (входящие стрелки).

Для одноканальной СМО с отказами имеем:

Состояния Выходящие Входящие

потоки потоки

S₀P₀∙λ₀₁=P₁∙ λ₁₀

S₁P₁∙ λ₁₀=P₀∙λ₀₁

P₀+P₁=1.

Составим систему алгебраических уравнений для СМО, размеченный граф состояний которой показан на рис.7.36.

Рис. 7.36.Граф системы с тремя состояниями

Для состояния Выходящие Входящие

потоки потоки

S₀ P₀∙ λ₀₁=P₁∙ λ₁₀

S₁ P₁(λ₁₀+ λ₁₂)=P₀∙ λ₀₁+P₂∙ λ₂₁

S₂P₂∙ λ₂₁=P₁∙ λ₁₂

P₀+P₁+P₂ = 1

Граф системы с четырьмя состояниями показан на рис. 7.37.

Рис. 7.37.Граф системы с четырьмя состояниями

Уравнения для системы с четырьмя состояниями имеют вид:

Состояния Выходящие Входящие

потоки потоки

S₀P₀∙ λ₀₁=P₁∙ λ₁₀

S₁P₁(λ₁₀+λ₁₂)=P₀∙λ₀₁+P₂∙λ₂₁

S₂P₂(λ₂₁+λ₂₃)=P₁∙λ₁₂+P₃∙λ₃₂

S₃P₃∙λ₃₂₌P₂∙λ₂₃

P₀+P₁+P₂+P₃=1