Законы распределения, определяющие описание и формирование простейшего потока

К числу таких законов распределения относятся:

• закон распределения Пуассона;

• экспоненциальный (показательный) закон распределения;

• закон равномерной плотности.

Закон Пуассона определяет распределение дискретной случайной величины – количества событий, происходящих за определенный интервал времени. В качестве события может быть поступление заявки или её обслуживание.

Экспоненциальный закон определяет распределение непрерывной случайной величины – интервал времени между двумя последовательными событиями.

Эти два закона взаимосвязаны.

В теории вероятностей показывается, что если распределение количества событий имеет пуассоновское распределение с математическим ожиданием количества требований, поступивших в единицу времени равным , то интервалы времени между ними распределены по экспоненциальному закону с математическим ожиданием, равным.

И, наоборот, из экспоненциального распределения интервалов между событиями следует пуассоновское распределение их количества.

Это свойство используется при формировании простейшего потока событий. Исходным при этом является поток случайных чисел, имеющих равномерное распределение. В результате функционального преобразования, которое будет рассмотрено ниже, получается поток событий, имеющих экспоненциальное распределение. Этот поток является простейшим.

Закон Пуассона

Пуассон – французский математик (1781–1840 гг.). Закон Пуассона может рассматриваться как математическая модель простейшего потока, поскольку отражает все его свойства – ординарность, стационарность и отсутствие последействия.

Закон характеризует следующую ситуацию.

Пусть имеется поток с интенсивностью . Под интенсивностью понимается среднее количество требований, поступающих в единицу времени.

Тогда среднее количество требований, поступивших за время t, есть величина

a=∙t.

В этом случае вероятность поступления равно kтребований за времяtопределяется формулой Пуассона

(7.15)

Или с учетом того, что a=∙t

(7.16)

Величину a=λ ∙tназываютпараметром закона Пуассона.

Пусть Х - дискретная случайная величина, принимающая только целые неотрицательные значения 0, 1, 2…

В случае пуассоновского распределения этой случайной величины, её математическое ожидание m=λ ∙t;

Среднее квадратическое отклонение также равно λ ∙ t, т. е. σ=λ ∙t.

Ряд распределения случайной величины Х, подчиняющейся закону Пуассона, имеет вид, представленный в табл.7.3.

Таблица 7.3.

Х=k	0	1	2	3	4	…	k
Р(k)	e-λt					…

Значения Р(k) в функции k при различных значениях параметра λtприведены в табл.7.4.

Таблица распределения Пуассона

Таблица 7.4.

e-λt	k λt	0	1	2	3	4	5	6	7	8
e-0,5	0,5	0,6065	0,3033	0,0758	0,0126	0,0016	0,0002
e-1	1	0,3679	0,3679	0,1839	0,0613	0,0153	0,0031
e-2	2	0,1353	0,2707	0,2707	0,1804	0,0902	0,0361	0,0120	0,0037
e-3	3	0,0498	0,1494	0,2240	0,2240	0,1680	0,1008	0,0504	0,0216	0,0081
e-4	4	0,0183
e-5	5	0,00674
e-6	6	0,0025	0,0149	0,0446	0,0892	0,1339	0,1606	0,1606	0,1377	0,1033

Многоугольники распределения случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, при соответствующих значениях параметра λt, показаны на рис.7.25.

Отметим, что особенностью закона Пуассона является зависимость его формы от параметра λt.

Рис. 7.25.Многоугольники распределения случайной величины распределенной по закону Пуассона

Задача

Среднее число вызовов, поступающих в СМО, в качестве которой рассматривается АТС, в 1 мин. равно двум. Найти вероятность того, что за 3 мин. поступит вызовов:

а) четыре – (ровно k);

б) менее четырех – (менее k);

в) не менее четырех – (больше или равно k).

Предполагается, что поток событий – простейший.