Марковские процессы
Процессы, происходящие в СМО, состоят в том, что в некоторые случайные моменты времени система переходит скачкообразно из некоторого состояния Skв состояниеSk+1илиSk-1. Такие процессы относятся к категории случайных процессов с дискретными состояниями и непрерывным временем.
Примерный вид процесса в СМО показан на рис.7.20.
Рис. 7.20.Вид процесса в СМО
Аналитические методы исследования СМО основываются на допущении о том, что процессы в СМО являются марковскими случайными процессами.
Протекающий в СМО процесс будет марковским, если входящий поток заявок и поток обслуживания являются простейшими, в которых события распределены по пуассоновскому закону, а интервалы времени между событиями – по экспоненциальному.
Для случайного марковского процесса характерно то, что вероятность состояния системы в будущем зависит только от состояния системы в настоящий момент времени и не зависит от того, каким образом система пришла в это состояние, т. е. не зависит от предыстории процесса, от его прошлого.
Так, например, возможность покупки какого-то товара зависит от наличия денег в кошельке, т. е. от состояния кошелька в данный момент, и не зависит от того, как ранее зарабатывались, получались и расходовались деньги.
Марковские процессы являются процессами ''без памяти'', т. е. переход из одного состояния в другое происходит мгновенно.
Обычные динамические процессы являются процессами ''с памятью''.
Виды процессов ''без памяти'' и ''с памятью'' представлены на рис.7.21.
Рис. 7.21.Виды процессов «с памятью» и «без памяти»
Стационарный режим динамического процесса
Динамические процессы могут быть:
детерминированными;
статистическими (случайными).
Детерминированный динамический процесс представляет собой процесс изменения по определенному закону во времени некоторой переменной состояния.
Для случая апериодического закона изменение переменных состояния, как уже указывалось, определяется формулами:
Y1 (t)=1-e-t/T (7.13)
или
Y2 (t)=e-t/T , (7.14)
где Т – постоянная времени системы.
Процессы, соответствующие этим формулам, показаны на рис.7.22.
Процессы состоят из двух составляющих:
переходного процесса;
установившегося или стационарного режима.
Длительность переходного процесса при апериодическом законе равна примерно 3Т, т. е. трем постоянным времени. По истечении этого времени разница между процессом и его предельным значением составляет менее 5%. При t=3Tимеем, 1-(1-e-t/T)=e-3=0,04979.
а) б)
Рис. 7.22.Процессы возрастания (а) и уменьшения (б) переменной состояния
СМО являются динамическими статистическими системами.
Динамическая структура СМО может быть представлена в виде, показанном на рис. 7.23.
Рис. 7.23.Динамическая структура СМО
Здесь Pk– вероятностьk-го состояния системы.
Состояние системы характеризуется количеством занятых каналов, и заявок, ожидающих в очереди. Каждому состоянию Skсоответствует вероятностьPk, т. е.
S0→P0
S1→ P1
Sn→Pn
Переход из одного состояния Si в другоеSi+1 илиSi-1 происходит мгновенно, «без памяти».
Дифференциальные уравнения СМО записываются относительно вероятностей состояний S0,S1, …,Sn, т. е. относительно величинP0,P1,…,Pn.
Аналитическое решение таких уравнений является достаточно сложным.
Решение дифференциальных уравнений описывает процесс изменения вероятностей состояний во времени. Процесс показан на рис. 7.24.
Полностью весь процесс соответствует общему решению неоднородного уравнения.
Установившийся режим соответствует частному решению дифференциального уравнения.
Процессы аналогичные тем, которые рассмотрены для переменных состояния в детерминированной апериодической системе, имеют место в системах массового обслуживания для вероятностей состояний. Сами состояния, как было рассмотрено выше, изменяются скачкообразным образом.
Рис. 7.24.Процесс изменения вероятности состояния Рkво времени