Случайные потоки событий

Под потоком событий понимается последовательность событий, происходящих одно за другим в какие-то моменты времени.

Потоки событий могут быть:

• детерминированными (регулярными);

• случайными.

Детерминированные потоки в СМО крайне редко встречаются на практике. В основном потоки событий в СМО являются случайными. Под событием здесь понимается как поступление заявки, так и её обслуживание.

Если поток является случайным, то его характеризуют случайные величины с различными законами распределения.

В частности, случайными являются:

• количество заявок за определенный интервал времени;

• интервал времени между приходящими заявками и т.п.

Характерными являются следующие случайные потоки:

• простейший (пуассоновский) поток;

• поток Пальма;

• потоки Эрланга.

Наиболее общим описанием потоков является поток Эрланга m-го порядка, где величинаmопределяет степень последействия.

Исходным для формирования потоков Эрланга является простейший поток. Он же является потоком Эрланга нулевого порядка (Э₀). Поток Эрланга первого порядка (Э₁) является потоком Пальма. Он может быть получен из простейшего потока, если из него удалена каждая вторая точка.

На рис.7.12. удаленные точки отмечены крестиками.

Поток Эрланга второго порядка (Э₂) получится, если сохранить в простейшем потоке каждую третью точку, а две промежуточные удалить.

Рис. 7.12.Процесс получения из простейшего потока (Э₀) потоков Эрланга первого (Э₁) и второго (Э₂) порядков

Простейший поток имеет степень последействия m=0. Если бесконечно удалять промежуточные точки, то получаем регулярный детерминированный поток, для которого степень последействияm=∞.

Рассмотрим простейший поток. Простейший поток – это поток, который удовлетворяет трем условиям:

1. стационарности;

2. отсутствия последействия;

3. ординарности.

Условие стационарности.

Условию стационарности удовлетворяет поток заявок, вероятностные характеристики которого не зависят от времени. В частности, для стационарного потока характерна постоянная плотность (среднее число требований в единицу времени). Большинство реальных потоков являются нестационарными, но на определенных участках времени их можно считать стационарными. Плотности стационарного и нестационарного потоков во времени показаны на рис. 7.13.

Рис. 7.13.Зависимости плотности стационарного и нестационарного потоков от времени

Условие отсутствия последействия.

Условие отсутствия последействия наиболее существенно для простейшего потока, оно означает, что требования поступают в систему независимы друг от друга. Так, поток пассажиров, приходящих на железнодорожную станцию к поезду, является потоком без последействия. Другой характер имеет поток пассажиров, покидающих железнодорожную станцию. Такой поток является потоком с последействием, т. к. моменты выхода пассажиров, прибывших одним и тем же поездом, зависимы между собой.

Условие ординарности.

Условие ординарности означает, что требования приходят поодиночке, т. е. в один и тот же момент времени не может поступить несколько требований.

Доказано следующее положение:

Нормированный поток Эрланга, при неограниченном увеличении его порядка (т. е. величины m) приближается к регулярному потоку. Это свойство дает возможность получать потоки с любой степенью последействия, от полного отсутствия последействия (m=0), до жесткой функциональной связи между моментами появления заявок (m=∞).

Итак, простейший поток – это поток с постоянными во времени характеристиками, в котором требования поступают поодиночке и независимо друг от друга.

Практически система массового обслуживания рассчитывается, как правило, на простейший поток. Дело в том, что системе массового обслуживания наиболее сложно обслуживать именно этот поток, поэтому системы, рассчитанные на простейший поток, будут эффективно работать в условиях других потоков.

Простейший поток играет такую же основополагающую роль в СМО, как и нормальный закон распределения в теории вероятностей.

Важнейшими являются две характеристики потоков:

k– количество заявок, поступающих в единицу времени;

τ– интервал времени между двумя последовательными заявками.

В табл.7.1 и 7.2 и на рис.7.14, 7.15 и 7.16 представлены характеристики двух потоков – простейшего (m=0) и детерминированного (m=∞), при одинаковой средней интенсивности λ=5.

Таблица 7.1

Поток	Номер заявки, i	1	2	3	4	5	6	7
детермени-рованный	Интервал времени, τi	0	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2	0,2
простейший	Интервал времени,τi	0	0,460	0,482	0,064	0,278	0,222	0,054
простейший	Время поступления заявки, ti	0	0,460	0,942	1,006	1,284	1,560	1,560

Таблица 7.2

Поток	t, мин.	1	2	3	4	Среднее значение
детерминированный	k	5	5	5	5	5
простейший	k	3	5	3	9	5

1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

Рис. 7.14.Детерминированный поток

1 2 3 4 5 6 7 8 9 t

Рис. 7.15.Простейший поток

Рис. 7.16.Количество заявок, поступающих в единицу времени, в случае простейшего потока

Степень зависимости двух случайных величин определяется коэффициентом корреляции. Для функционально зависимых величин коэффициент корреляции r=1, для коррелированных величина 0 <r< 1, и для независимыхr=0.

Указанные виды зависимостей представлены графически на рис. 7.17.

Рис. 7.17. Виды зависимостей двух величин

Для непрерывных случайных процессов степень случайности характеризуется корреляционной функцией, которая определяет насколько последующее значение связано с предыдущим.

Для дискретных случайных процессов вводится близкое понятие – степень последействия.

Если последующая и предыдущая заявки независимы, то степень последствия равна нулю. Для детерминированного процесса степень последствия равна бесконечности.

Простейший порок, имеющий нулевую степень последствия, формируется с помощью генератора случайных чисел и преобразования равномерно распределенных чисел в числа c экспоненциальным распределением интервалов между ними.

Прореживанием простейшего порока получают процесс с m> 0.