Структурная схема простой смо. Основные обозначения. Характеристики важнейших параметров Структурная схема простой смо

Основными элементами СМО являются:

• источники заявок;

• входящий поток заявок;

• очередь;

• каналы обслуживания;

• выходящий поток обслуженных заявок;

• поток отказов, т. е. поток необслуженных заявок.

Указанные элементы образуют структурную схему, характерную для простой СМО.

Схема показана на рис. 7.4.

Рис. 7.4.Структурная схема простой СМО

Сложные СМО состоят обычно из простых СМО, образующих системы различных конфигураций, в частности:

• последовательной;

• параллельной;

• замкнутой и т.п.

Основные обозначения

Основными обозначениями являются следующие:

n– число каналов обслуживания;

i– число источников заявок;

m– максимальное число мест в очереди, ограничивающее длину очереди заявок;

λ – интенсивность входящего потока заявок, т.е. среднее количество заявок в единицу времени;

μ – интенсивность обслуживания заявок;

υ – интенсивность выходящего потока;

ω – интенсивность потока отказов или уходов заявки из очереди;

ρ – приведенная интенсивность потока заявок (показатель нагрузки системы, трафик);

β – приведенная интенсивность потока «уходов»;

–среднее время обслуживания одной заявки;

–среднее время ожидания заявки в очереди;

ψ – показатель нагрузки системы, приходящейся на один канал;

S_k–k-ое состояние системы, характеризующееся тем, чтоkзаявок находятся под обслуживанием или в очереди.

P_k– вероятностьk-го состояния системы;

P_o– вероятность того, что все каналы свободны;

P_n – вероятность того, что все каналы заняты;

P_отк– вероятность отказа заявке в принятии ее в систему;

P_сис – вероятность принятия заявки в систему, т. е. постановки в очередь или на обслуживание;

P_обс – вероятность того, что заявка будет обслужена.

Характеристики важнейших параметров

К их числу относятся параметры ρ и β .

Величина

. (7.1)

Эта важнейшая характеристика СМО измеряется в единицах, называемых эрлангом.

Поскольку

(7.2)

имеем, что

,

следовательно, ρ есть среднее число заявок, приходящееся на среднее время обслуживания одной заявки.

Примеры:

1). λ=4 ¹/мин;=2 мин; ρ=8 эрлангов

2). λ=4 ¹/мин;=0.5 мин; ρ=2 эрланга.

Величина

. (7.3)

Поскольку , имеем, что β =ω ∙.

С учетом того, что

, (7.4)

получаем

.

При → 0 , имеем ω→ ∞ и β→ ∞. В этом случае очередь отсутствует, велик поток отказов. СМО является системой с отказами.

При → ∞, имеем, что ω → 0 и β → 0, очередь неограниченно возрастает, поток отказов отсутствует, имеем СМО с ожиданием.

При β=0 имеем систему с неограниченным ожиданием. Для нее Р_отк=0, т.е. заявка не уходит из очереди.

График зависимости Р_откот величины β для СМО сn=1 и ρ=1 представлен на рис. 7.5.

СМО с неограниченным временем ожидания

Рис. 7.5.График зависимости Р_откот величины β для СМО сn=1 и ρ=1

Задачи исследования смо

Наука, изучающая СМО, как уже указывалось, называется теорией массового обслуживания (ТМО).

ПредметомТМО являются СМО.

ЗадачиТМО состоят в установлении зависимостей между показателями качества и эффективности СМО и параметрами системы, а также оптимизация СМО.

ЦельюТМО является выработка рекомендаций по повышению качества и эффективности СМО.

Задачи, которые решаются при исследовании СМО, можно разделить на четыре типа:

• определение основного показателя качества СМО – вероятности отказа;

• определение показателей качества функционирования системы и качества обслуживания заявок;

• оценка экономической эффективности СМО;

• определение приемлемого или оптимального варианта построения СМО.

В задачах первого типаопределяется один основной показатель – вероятность отказа.

В задачах второго типатребуется, во-первых, определить насколько хорошо работает СМО, например, оценить количество обслуживаемых клиентов. А во-вторых, необходимо определить не сколько клиентов обслужено, а как, насколько качественно, они обслужены, например, сколько времени клиент должен стоять в очереди.

Схема моделирования в задачах первого и второго типа включают в себя модель СМО, в которой задаются или варьируются параметры СМО и в результате исследования определяются критерии качества СМО. Подобная схема представлена на рис.7.6.

Рис. 7.6.Модель для решения задач определения критериев качества СМО

В задачах третьего типа схема моделирования дополняется блоком оценки экономической эффективности. Модель оценки экономической эффективности СМО представлена на рис.7.7

Рис. 7.7.Модель для решения задачи оценки экономической эффективности СМО

В качестве критерия экономической эффективности может быть, в частности, период окупаемости.

В задачах четвертого типасхема моделирования включает в себя ещё и блок оптимизации. Схема имеет вид, представленный на рис. 7.8.

Рис. 7.8.Модель для решения задачи оптимизации СМО

В частности, может определяться оптимальное количество каналов СМО.

Для характеристики СМО используется четыре типа (группы) показателей

1. Критерии качества функционирования СМО.

В качестве критериев качества функционирования обычно рассматриваются следующие:

• Вероятность отказа – Р_отк.

• Вероятность обслуживания

Р_обс=1 – Р_отк. (7.5)

• Абсолютная пропускная способность или количество обслуженных клиентов в единицу времени – А. Так, если в течение дня в магазин пришли 100 человек, а купили товар 30, то А=30 покупателей/день.

• Относительная пропускная способность

,

где N– количество поступивших в систему заявок.

Если N=100 и А=30, тоQ=0,3.

Относительная пропускная способность есть также вероятность обслуживания заявки. Таким образом

Q=Робс. (7.6)

• Среднее число каналов, занятых обслуживанием, определяется двумя способами:

Поскольку пропускная способность

А=λ ∙ Q=λ ∙ Р_обс, (7.7)

имеем, что среднее число каналов, занятых обслуживанием

. (7.8)

Основываясь на формуле математического ожидания числа занятых каналов, получаем второе соотношение

. (10.9)

• Коэффициент загрузки каналов

,

где n- количество каналов СМО.

• Среднее число каналов, свободных от обслуживания

n₀₌n– К_ср .

• Коэффициент простоя каналов

.

2. Критерии качества обслуживания заявок:

• Среднее число заявок, находящихся в СМО – _сис.

Для СМО Эрланга _сис=К_ср.

• Среднее число заявок, находящихся в очереди – _оч

Большую роль в СМО играют формулы Литтла.

Первая формула Литтла

(7.10)

Вторая формула Литтла

(7.11)

Согласно первой формуле Литтла среднее время пребывания заявки в системе равно среднему числу заявок в системе, деленному на интенсивность потока заявок.

Вторая формула связывает среднее время пребывания заявки в очереди и среднее число заявок в очереди.

Формулы Литтла справедливы для любой СМО, при любом характере потока заявок, при любом распределении времени обслуживания и любой дисциплине обслуживания.

3. Критерии экономической эффективности СМО:

• Доход – D.

• Издержки – I.

• Прибыль – R=D–I.

• Стоимость обслуживания одной заявки – С_1.

• Обобщенный критерий в виде суммы затрат на создание СМО – С_о и потерь из-за необслуживания заявок – С_п, т.е. С=С_о + С_п.

• Время окупаемости СМО, т.е. Т_ок.

4. Критерии принятия решения о приемлемости или оптимальности СМО.

При решении задачи о приемлемости СМО определяются значения управляемых параметров, обеспечивающих выполнение условий, состоящих в том, что критерий эффективности больше или меньше некоторой заданной величины.

Так, приемлемым является решение, при котором срок окупаемости меньше заданного, т.е. Т_ок<Т_зад или прибыль R>R_зад .

При решении задачи определения оптимальности СМО, находятся значения управляемых параметров, обеспечивающих максимум или минимум некоторого критерия эффективности.

Так оптимальное решение может определяться из условия

или ,

где

R – доход или прибыль;

С – затраты;

u – управляемый параметр.

В качестве управляемых параметров могут быть: количество каналов обслуживания (официантов, продавцов, поваров, кассиров и т.п.), величина интенсивности входящего потока, организация каналов обслуживания (параллельная, последовательная) и т.д.

Следует отметить, что оптимальное значение является оптимальным по принятому критерию и для выбранной модели.