Главное в содержательном модуле 5

1. Эффективность систем определяется с использованием одной из двух концепций:

• приемлемости;

• оптимальности.

В соответствии с концепцией приемлемости показатель эффективности системы сравнивается с требуемым (заданным) значением и на основе этого сравнения принимается решение о том, является ли проект системы (вариант системы) приемлемым.

В соответствии с концепцией оптимальности определяется вариант системы, для которого показатель эффективности, называемый также целевой функцией или критерием принятия решения, принимает экстремальное значение.

2. Оптимальной система является только по определенному критерию, или как говорят «оптимальной в определенном смысле». Оптимальное решение определяется, как правило, на основе использования некоторой математической модели. Решение, оптимальное для одной модели, может не являться оптимальным для другой модели.

3. Оптимизационные задачи разделяются на два класса:

• классические задачи;

• задачи математического программирования;

Среди классических задач выделяют:

• задачи на безусловный экстремум;

• задачи на условный экстремум;

Задачи на условный экстремум решаются методом множителей Лагранжа. Задачи на безусловный экстремум решаются методами математического анализа.

4. Методами математического программирования решаются задачи:

• линейного программирования;

• нелинейного программирования;

• целочисленного программирования;

• параметрического программирования;

• стохастического программирования;

• динамического программирования.

5. Одной из типовых для экономики является задача определяемая оптимального варианта системы по критерию минимума суммарных затрат.

Возможны два варианта:

• управляемая переменная является непрерывной величиной;

• независимая переменная представляет собой целочисленную величину.

Второй вариант имеет место в случае оптимизации системы массового обслуживания, для которой необходимо найти оптимальное количество каналов. Практически задача решается методом перебора, т.е. с определением численных значений характеристик вариантов.

6. Аналитическое решение задачи минимизации суммарных затрат может быть получено при непрерывном характере управляемой величины. Такая ситуация характерна для так называемой «основной модели управления запасами». Ее решение получается в виде формул Вильсона в результате приравнивания нулю производной суммарных затрат по уровню запасов. Согласно формулам Вильсона величина оптимального размера партии пропорциональна корню квадратному из удвоенного произведения спроса на расходы на заказ, деленному на расходы на содержание единицы запаса.

7. В основной модели управления запасами принято, что запас возобновляется в момент, когда уровень запаса равен нулю. Дальнейшим развитием является модель с возобновлением запаса до его исчерпания. В модели задается минимально приемлемый уровень запаса и рассчитывается точка его возобновления.

8. Ситуация, учитывающая, что цена на товар не является постоянной величиной, а зависит от объема заказа, рассматривается в модели определения оптимального размера партии с учетом скидок.

Задача решается методом перебора, т.е. численным методом.

9. Для решения задач оптимизации в случае многошагового (многоэтапного) распределения ресурсов используется метод динамического программирования. Метод основан на принципе оптимальности Р.Беллмана, который формулируется следующим образом: независимо от того, каким образом система пришла в данное состояние, последующие решения должны быть оптимальными.

Решение задач динамического программирования начинается с последнего (конечного) шага и развивается в направлении начального состояния. Дело в том, что решение на последнем шаге выбирается исходя только из характеристик этого шага, а решения на остальных шагах должны выбираться с учетом всех последствий в будущем, т.е. решение должно максимизировать сумму выигрыша на данном шаге и условно оптимального выигрыша на последующих шагах.

10. Задача оптимального распределения ограниченного ресурса между несколькими объектами представляет собой задачу условной оптимизации, которая решается с использованием метода множителей Лагранжа. В результате решения получаем соотношение, которое чрезвычайно широко применяется на практике. Из него следует, что ресурсы должны распределяться пропорционально эффективности (доходности) подразделений. Инвестиции должны направляться туда, где больше прибыль. Большую зарплату должен получать тот, кто лучше работает. В первую очередь должны загружаться электростанции, расходующие меньше топлива на производство 1 квт/ч электроэнергии и т.д.

11. Существует ряд задач, в которых эффективность решения зависит не от одного, а от двух факторов (сторон, лиц, игроков), причем одни факторы являются управляемыми нами, а - неуправляемыми.

Неуправляемые факторы бывают двух типов:

- обусловленные сознательным противодействием противника;

- связанные с незнанием состояния «природы».

Играми с сознательным противником занимается теория игр. При этом интересы сторон могут быть противоположными – антагонистическими и непротивоположными – неантагонистическими. Характерными для экономики являются неантагонистические интересы.

Под «природой» принято понимать факторы, которые обусловлены неосведомленностью, таковы погода, спрос и т.п. «Природа» к нам безразлична, она не старается навредить нам, не имеет своих интересов. Играми с природой занимается теория статистических решений.

12. В зависимости от характера неопределенности выделяют два типа игры с «природой»:

• игры в условиях частичной неопределенности;

• игры в условиях полной неопределенности.

В первом случае известны вероятности условий, во втором — вероятности не известны.

Игровые задачи обычно записываются в матричной форме. При этом строки матрицы соответствуют действиям игрока, а столбцы – состояниям ''природы''. Матрицы могут быть двух типов:

• матрица выигрышей, иначе доходов;

• матрица рисков, иначе сожалений, потерь, ущерба.

В игровых задачах риском называется величина, равная разнице между максимальным значением выигрыша в столбце и величиной выигрыша для рассматриваемого варианта действий игрока.

В условиях частичной неопределенности оптимальное решение определяется по критерию максимума среднего выигрыша либо минимума среднего риска. Доказывается, что обе стратегии являются одинаковыми.

13. В случае, если вероятности состояний ''природы'' неизвестны, имеем так называемую игру с природой в условиях полной неопределенности.

В такой игре для определения наилучшего решения используются следующие критерии:

• максимаксный критерий (критерий ''крайнего оптимизма'');

• максиминный критерий Вальда (критерий ''крайнего пессимизма'');

• критерий Гурвица (критерий ''пессимизма-оптимизма'');

• критерий минимаксного риска Сэвиджа.

14. В условиях многокритериальности наилучшие решения определяются как оптимальные по Парето.

Если в однокритериальных задачах принятие решений осуществляется в результате нахождения экстремума одного показателя, то в многокритериальных задачах решение зависит от нескольких показателей. При двух критериях имеем вектор показателей, а векторы сравнивать нельзя. Поэтому вводится понятие эффективных и неэффективных векторов. Множество эффективных векторов называют множеством Парето, а любой вектор этого множества – оптимальным по Парето. Эффективным называется решение, которое не может быть улучшено одновременно по двум показателям.

Выбор конкретного решения из множества эффективных осуществляется на основе субъективных представлений лица принимающего решения.