Пример решения задачи оптимизации смо.

Рассматривается оптимизация количества торговых точек.

Пусть в торговую точку поступает продовольственная продукция с интенсивностью λ=1 т/сутки; среднее время хранения t=1,3 суток. Тогда интенсивность «ухода» бракованной продукции ω= 0,75.

Интенсивность продаж, т.е. обслуживания μ=1 ^т/_сутки. Т.о. μ=λ и составляет одну тонну в сутки.

Решение. СМО является системой с ограниченным временем ожидания.

Определяем параметры ρ и β:

ρ==1;

β==0,75.

Определяем вероятность Р_откпо таблицам Р_отк(n,ρ,β). Таблица вероятности отказа системы с ограниченным временем ожидания в очереди представлена в Приложении П7. Согласно таблице зависимость Р_отк(n) при ρ=1 и β=0,75 имеет следующий вид (табл. 5.1)

Таблица 5.1.

n	1	2	3	4
Ротк	0,341	0,095	0,02	0,003

Приведенные в табл. 5.1. данные показывают, что с увеличением количества торговых точек процент потерь продукции уменьшается с 34,1% при одной точке до 2% при трех точках. Однако увеличение числа имеющихся торговых точек приводит к увеличению стоимости содержания обслуживающего персонала и повышению накладных расходов. Поэтому проведем экономическую оценку и определим оптимальное количество торговых точек.

Пусть экономические параметры имеют следующее значение:

Затраты на содержание одной торговой точки С_с1=1000^у.е./_мес.

Стоимость 1 кг продукции: С_n1=1^у.е./_кг.

Количество доставляемой продукции в месяц: L=30λ=30 ∙ 1000=30000 кг.

Зависимость стоимости затрат, потерь и суммарной стоимости от количества торговых точек представлена в табл.5.2.

Таблица 5.2.

Количество торговых точек n	1	2	3	4
Затраты Cc1∙n	1000	2000	3000	4000
Потери Cn1∙L∙Pотк	10200	2850	600	90
Суммарные издержки	11200	4850	3600	4090

Из результатов, представленных в таблице, следует, что наиболее экономичной является торговая сеть, состоящая из трех точек. Увеличение количества торговых точек с 3 до 4 нецелесообразно, так как снижение процента потерь незначительно (с 2% до 0,3%), а стоимость содержания сети существенно возрастает.

Графически составляющие затрат, потерь и суммарные издержки представлены на рис.5.4.

Рис. 5.4.Оптимизация СМО при целочисленном аргументе

Согласно графику суммарные издержки C(n) имеют минимум при некотором целочисленном значенииn=n^*=3.

Оптимизация систем управления запасами

Определение оптимальных размеров запасов сырья, продовольствия, медикаментов, энергоресурсов, деталей для сборки машин, и. т. п. является одной из важнейших задач при планировании бизнеса.

Государство – имеет систему стратегических ресурсов. Тепловая электростанция имеет запас угля, гидроэлектростанция имеет запас водных ресурсов, атомная электростанция – запас ядерного топлива, торговая фирма – запас товаров, магазин – запас продуктов, человек – старается иметь запас продуктов и медикаментов.

Очевидно, что если запас заканчивается, а спрос есть, то фирма несет убытки из-за отсутствия (дефицита) товара.

Исчерпание запасов на электростанциях вообще недопустимо. С другой стороны увеличение запасов приводит к увеличению платы за их хранение, к замораживанию средств.

Поэтому возникает задача определения размеров запаса, которые были бы оптимальны в смысле минимизации общих затрат.

Задачи управления запасами весьма разнообразны. Их можно классифицировать следующим образом:

• спрос – детерминированный или случайный;

• пополнение запасов – мгновенное, непрерывное, с задержкой, случайное;

• запасы – одинаковых товаров, долгохранящихся товаров, скоропортящихся товаров;

• система снабжения – с одним складом (однокаскадная), с несколькими складами (многокаскадная), с центральным складом и т.д.

Затраты (издержки) при управлении запасами представляют собой:

• расходы на поставку (расходы на заказ);

• стоимость товаров;

• расходы на хранение (расходы на поддержание запасов);

• расходы на штрафы;

• расходы на неплановое приобретение товаров;

• расходы (убытки) связанные с продажей излишних товаров и.т.п.

Расходы на покупку единицы товара могут быть постоянной величиной, не зависящей от размера партии или убывать с увеличением объема заказа, если учитываются скидки.

Расходы на хранение могут быть линейной или нелинейной функцией (выпуклой или вогнутой) среднего уровня запасов.

В общем случае задачи управления запасами сводятся к задачам нелинейного программирования, для решения которых применяются различные частные методы.

Ниже рассматривается ряд упрощенных математических моделей управления запасами. Модели описываются алгебраическими уравнениями и позволяют получить аналитические зависимости для оптимальных решений. Несмотря на упрощение модели такого типа широко применяются на практике.

Для более детального и полного исследования используются имитационные модели – детерминированные или стохастические. В последнем случае для получения решения применяется метод статистических испытаний.

Модель 1. Основная модель управления запасами.

Такую модель называют моделью «экономического размера заказа» или определения оптимального размера партии. По-английски модель EOQ(EconomicOrderQuantity).

Основная модель соответствует следующим условиям:

• спрос - детерминированный, постоянный, непрерывный;

• система снабжения – с одним складом, с одним товаром, без изменения со временем свойств хранимого товара;

• стратегия пополнения запасов – периодическая, период поставки не фиксирован;

• пополнение запасов - без задержки поставляется партия, как только уровень запасов становится равным нулю;

• имеют место затраты трех видов:

- затраты на покупку товара (стоимость товара) – характеризуется тем, что стоимость единицы товара является постоянной величиной.

- затраты на поставку т.е. связанные с оформлением и доставкой товара – постоянная величина.

- затраты на хранение – линейная функция среднего уровня

запасов.

Введем обозначения:

y– размер запаса;

Y– максимальный размер запаса;

Y*– оптимальный размер запаса;

T– период времени;

C– суммарные издержки;

c– стоимость единицы товара;

 – интенсивность поставок;

 – интенсивность спроса;

s– издержки хранения единицы товара (расходы на содержание единицы запаса);

g– затраты поставки ;

p– штрафы за единицу продукции в единицу времени.

Графически ситуации представлен на рис.5.5.

Рис. 5.5.График изменения запасов

Уравнение затрат (издержек):

С_т=С_т1+ С_т2+ С_т3,

где • С_т1– постоянные (организационные) издержки;

• С_т2– стоимость товара;

• С_т3– издержки хранения.

Считается, что издержки хранения пропорциональны среднему уровню запасов, поэтому

С_т3=sT. (5.1)

С учетом соотношения Y=μТ имеем, что стоимость товара

С_т2=cY=cμT.

Величина организационных издержек С_т1=g.

Затраты в единицу времени определяются путем деления на величину Т

С=С₁+ С₂+ С₃=.

Подставляя T=, получаем уравнение суммарных издержек в виде

.

В этом уравнении две составляющие зависят от величины партии Y.

Издержки хранения

- растут линейно с изменением величины партии Y.

Организационные издержки

- изменяется обратно пропорционально величине партии Y.

Стоимость товара

- не зависит от Y.

Найдем значение Y=Y*, при котором С=min.

Условие оптимальности имеет вид

.

Решая уравнение относительно Y, находим

(5.2)

Таким образом величина оптимального размера партии

Тогда

; (5.3)

Подставляя величину Y* в формулу, получаем

. (5.4)

Формулы для Y*,T*,C* носят название формул Вильсона (Уилсона). Формулы впервые получены в 1915 году.

Графически изменение отдельных составляющих величины затрат С в зависимости от размера запаса yпредставлены на рис.5.6.

Рис. 5.6.Графики изменения составляющих величины затрат

Замечания к формуле оптимального размера партии.

1. Оптимальная величина уровня запасов Y* пропорциональна квадратному корню из величины спроса. Если потребность возрастает в 4 раза, то оптимальный объем заказа увеличивается в 2 раза.

2. Величина Y* пропорциональна отношению накладных расходов к затратам, связанными с хранением.

Пример 1.

Интенсивность спроса =2000 ед/мес., денежные показатели в д.е.g=20; с=1;s=0,1;

Определить оптимальный размер партии:

По формулам Вильсона имеем оптимальный размер партии:

ед. товара в партии.

Продолжительность цикла в днях

дня.

Количество поставок в месяц:

Суммарные издержки:

д.е.

Пример 2.

Фирма приобретает изделия по цене с=40 д.е. за штуку, годовая потребность =6400 ед/год. Считается, что в расходы на содержание включаются 16% от его стоимости.

Кроме того, налоги, страхование и т.п. на каждое изделие составляет 1,6 д.е. Расходы на заказ – 100 д.е.

Т.о. имеем:

Расходы на содержание единицы запаса s=1,6 + 0,1640=8 д.е.;

Расходы на заказ g=100;

Спрос (годовая потребность) =6400^ед/_год .

Оптимальный размер партии

ед.

Число заказов n*=6400/400=16.

В году примерно t_n=50 недель. Тогда период поставки

недели.

Общая стоимость запаса (без учета стоимости товара)

д.е.

Модель 2. Модель с возобновлением запаса до его исчерпания.

В основной модели принято, что запас возобновляется в момент, когда уровень запаса равен нулю. Более реальной является ситуация, когда запас возобновляется за какое-то определенное время до его исчерпания, соответствующее минимально приемлемому уровню запаса.

Точка возобновления запаса рассчитывается следующим образом:

Y_min=,

где Y_min- минимальный уровень запаса;

t_n– количество недель в году.

t_ож- время ожидания, т.е. время оставшееся до полного исчерпания запаса;

- средний расход в единицу времени.

Выполним расчет, используя предыдущий пример.

В этом примере спрос за год составлял величину =6400 ед. В годуt_n=50 недель.

Средний расход

Примем время ожидания равным одной неделе, т.е. t_ож=1.

Точка возобновления запаса рассчитывается следующим образом:

Y_min=16400/50=128 ед.

Графически ситуация представлена на рис. 5.7.

Рис. 5.7.График изменения запаса с возобновлением до момента его исчерпания

При падении запасов до уровня, равного 128 ед следует возобновить запас.

Период возобновления запасов в исходном примере составлял Т*=3 недели.

С учетом более раннего возобновления запасов Т=Т* -t_ож=3 - 1= 2 недели.

Модель 3. Модель определения оптимального размера партии с учетом скидок.

В основной модели принято, что цена на товар есть величина постоянная, не зависящая от объема заказа.

В реальности имеют место скидки, т.е. чем больше объем покупки (объем заказа), тем меньше цена за единицу.

Типичная шкала скидок имеет вид:

Объем заказа: Цена за 1 ед.

0<Y<500 40

500<Y<1000 39,9

Y>1000 39,8

Скидки включаются в модель следующим образом:

Суммарные издержки

,

где С₁– расходы на заказ - ,

С₂– стоимость запаса -,

С₃– расходы на хранение (содержание) – ;

с_y– стоимость единицы товара с учетом скидок.

Оптимальный размер заказа Y* находится в три этапа численным методом, т.е. методом перебора вариантов:

• рассчитывается Y* без скидок;

• рассчитывается значение суммарных издержек при значениях Y>Y*, т.е. при увеличении объема заказа;

• выбирается значение Y=Y*_c, соответствующее самым низким суммарным издержкам.

Выполним указанные расчеты. Выше, в примере 2, было получено, что Y*= 400. Рассмотрим издержки при Y*, а также приY>400, например, приY= 500 иY=1000.

Результаты расчетов представлены в табл.5.3.

Таблица 5.3.

Объем заказа, Y	400	500	1000
Расходы на заказ,	1600	1280	640
Расходы на поддержание запаса,	1600	2000	4000
Стоимость запаса, сi∙	256000	255360	254720
Суммарные издержки	259200	258640	259360

При Y= 500 имеем:

Расходы на заказ

.

Расходы на поддержание запаса

=2000.

Стоимость запаса

с₅₀₀∙=39,9 ∙ 6400=255360.

Суммарные издержки

++ с₅₀₀∙=2586400.

Анализ данных, представленных в таблице показывает, что минимальные суммарные издержки с учетом скидок имеем при Y= 500.

Согласно графику оптимальный размер партии с учетом скидок Y^*_c=500.

Графически ситуация представлена на рис.5.9.

Рис. 5.9.График определения оптимального размера партии с учетом скидок