Методика и пример формирования простейшего потока

Практическое формирование (генерирование) простейшего потока основывается на том, что интервалы времени между заявками распределены по экспоненциальному закону.

Для генерирования случайных величин, распределенных по некоторому требуемому закону распределения F, используется метод обратного преобразования (или метод обратных функций).

Метод включает в себя два этапа.

На первом этапе с помощью генератора равномерно распределенных случайных чисел получают случайные числа r_i, принадлежащие интервалу чисел от нуля до единицы.

На втором этапе осуществляется преобразование равномерно распределенных чисел r_iв числа τ_i, распределенные по требуемому закону. Это преобразование осуществляется на основе соотношения

τ_i =F^-1(r_i),

где F^-1-функция обратная по отношению кF.

Рассмотрим процедуру генерирования простейшего потока, как последовательности чисел, распределенных по экспоненциальному закону.

Для показательного закона плотность распределения

f(t)= λe^-λt, τ >0,

а закон распределения

.

В соответствии с методом обратных функций случайную величину υ_iприравниваем функции распределенияF(τ)=1-e^-λtи полученное уравнение υ_i=1-e^-λtрешаем относительно τ_i, т.е. находится τ_i=F^-1(υ_i).

Логарифмируя уравнение

e^-λτi=1- υ_i,

получаем

-λτi=ln(1- υ_i).

Далее находим, что

τ_i=-(1/ λ)ln(1- υ_i).

Введем величину ri=1- υ_i.

Величина r_i, также как и υ_i, представляет собой равномерно распределенную случайную величину. Поэтому правомерным является использование соотношения

.

Пример:

Пусть λ =5. Тогда . Если случайное числоr=0,1, то

ln0,1=–2,3, или [–ln0,1]=2,3.

Следовательно τ=0,2 2,3=0,460.

Последовательность чисел τ_iобразует простейший поток, прореживая который можно получать потоки Эрланга любого порядка.

Главное в содержательном модуле 2

1. Системные свойства экономики играет важнейшую и определяющую роль в моделировании. Они определяют характер и тип моделей, их размерность, требования к адекватности, языки программирования.

2. Разработчик модели должен владеть знаниями двух категорий:

• знаниями, позволяющими ориентироваться в экономических системах и в происходящих в них процессах, в критериях оценки качества и эффективности;

• знаниями математических методов, в том числе методов вычислительной математики, оптимизации и интеллектуализации, а также знаниями особенностей языков программирования.

3. Разработчик должен понимать как осуществлять декомпозицию исходной системы, чтобы поставить в соответствие ей либо одну модель, либо комплекс взаимосвязанных моделей.

4. При создании модели необходимо проанализировать системные свойства исходного экономического объекта (элемента подсистемы), в частности:

• имеет ли объект одно или многоуровневую структуру;

• является ли объект системой с изменяющимися во времени, в том числе случайными, характеристиками;

• относится ли объект к категории динамических систем;

• имеет ли место в нем процессы адаптации или самоорганизации;

• к какому типу относится система управления объекта – к одноуровневым системам замкнутого типа, или к иерархическим системам централизованного, децентрализованного или комбинированного управления и т.д.

5. Необходимо также рассмотреть возможность появления в системе свойств синергизма и эмерджентности.

6. Моделирование является одним из основных методов обоснования решений. Принимаемое руководителем решение и решение, предлагаемое аналитиком, могут существенно отличаться в силу влияния факторов, среди которых можно указать следующие:

• отличие цели и критерия эффективности;

• различия в системе информированности;

• наличие ряда неформализуемых факторов, которые не учитываются в модели;

• особенности личности ЛПР.

7. Сущность взаимодействия ЛПР и системы принятия решений (СПР) состоит в следующем

• определяются цель операции и ресурсы, выделенные на ее достижение;

• цель операции математически формулируется в виде критерия эффективности, а внутренние ресурсы в виде ограничений;

• создается модель операции;

• с помощью модели находится наилучшее для данной математической модели решение;

• полученный на модели вариант является основанием для принятия решения.

8. Существуют два типа критериев:

• критерий качества (эффективности);

• критерий принятия решения (критерий оптимальности).

Первый из них представляет собой тот показатель деятельности системы, который соответствует в наибольшей степени цели ее функционирования (цели операции);

Второй – это критерий, который используется при выборе способа действия, в частности, он может быть критерием оптимальности.

9. Основными требованиями, предъявляемыми к критериям качества, является:

• представительность, т.е. соответствие цели операции;

• единственность;

• критичность к изменению параметров;

• максимально возможная простота;

• объединение в себе по возможности всех основных факторов, характеризующих проблему;

• согласованность с целями более высокого уровня;

• в случае необходимости учет случайностей и неопределенностей.

10. Математические модели разделяют на два основных типа:

• аналитические;

• имитационные.

Аналитические модели позволяют получить результат с помощью формул, определяющих решение алгебраических или дифференциальных уравнений. Имитационная модель предполагает компьютерные эксперименты с моделью. Если модель является статистической, то результатом эксперимента является один экземпляр («реализация») случайного процесса. Совокупность большого числа подобных испытаний может быть использована для количественной оценки системы. Метод исследования, основанный на статистических испытаниях, получил название метода статистических испытаний, или метода Монте-Карло.

11. Аналитические модели финансовых операций включают в себя модели вычисления:

• будущей стоимости через настоящую по схеме сложных процентов;

• текущей стоимости через будущую;

• текущей стоимости через рентные платежи;

• будущей стоимости через рентные платежи;

• рентных платежей через текущую стоимость;

• рентных платежей через будущую стоимость.