Исследование смо с применением метода статистических испытаний

Рассмотрим следующий пример. В трехканальную СМО с отказами поступает пуассоновский поток заявок. Время между поступлением двух последовательных заявок распределено по экспоненциальному закону f(t)=5e^-5τ. Время обслуживания является детерминированной величиной.

Длительность обслуживания одной заявки t_обс=0,5 мин. Требуется найти математическое ожидание числа обслуженных заявок за времяT=4мин.

Имеем, таким образом, СМО типа M/D/nс параметрамиn=3, λ =5, µ ==2. Вычисляемый параметр=2,5 эрл.

Здесь М означает марковский входящий поток, D– детерминированное время обслуживания,n– количество каналов обслуживания.

Исследование СМО типа M/D/3 не может быть выполнено аналитическими методами.

Исследование подобных систем может быть осуществлено только путем имитационного моделирования с применением метода статистических испытаний.

Аналитическими методами может быть решена задача для марковской СМО типа M/М/3.

Получим решение для системы M/M/3 с применением формул Эрланга.

Вероятность простоя системы

P₀=

Вероятность отказа

.

Вероятность обслуживания

P_обс=1 – 0,28=0,72.

Абсолютная пропускная способность в единицу времени

A₀₌∙Q=5 ∙ 0,72=3,6¹/мин.

Число обслуженных заявок за время T=4 мин

A=A₀∙T=3,6 ∙ 4= 14,4 заявки.

Переходим к решению задачи для СМО типа M/D/3 с использованием метода Монте-Карло.

Процесс и результаты решения представлены в табл.2.2. Столбцы 1-5 показывают процесс формирования простейшего потока. Схема формирования простейшего потока показана выше на рис.2.13.

В столбце 1 табл. 2.2 указан номер поступившей заявки. Момент поступления первой заявки принимается равным нулю (Т_i=0). Моменты поступления заявок указаны в столбце 5.

Процедура формирования простейшего потока состоит в следующем. Генерируются равномерно распределенные случайные числа. Методы генерирования могут быть различными. При использовании компьютера такие числа могут быть получены с помощью программы Excelв результате обращения к встроенной функции СЛУЧ.

При применении алгоритмических языков случайные числа получают в результате обращения к стандартным процедурам RNDM,RNDи т.п.

Может быть использованы выборки чисел из таблицы. Таблица равномерно распределенных случайных чисел дается в приложении П4.

В данном случае выбираются числа, начиная с первого ряда. В таблице они имеют вид: 10; 0.9; 73; и т.п. Во второй столбец таблицы решений числа записываются в виде 0.1; 0.09; 0.73 и т.д. Эти числа обозначены как r_i.

Далее осуществляется преобразование равномерно распределенных случайных чисел в числа, распределенные по экспоненциальному закону. Для этого используется метод обратных функции, в соответствии с которым экспоненциально распределенные числа τ_iполучаются в соответствии с формулой

.

Учитывая, что по условию λ=5, имеем τ_i=0,2(–lnr_i).

Для случайного числа r=0,1 величина (–ln0,1)=2,3.

Записываем эту величину в столбец 3.

Следовательно, τ_i=0,2 ∙ 2,3=0,460.

Величина τ_iзаписывается в столбец 4, где указывается интервал времени между двумя последовательными заявками.

Момент поступления заявки определяется соотношением

T_i=T_i– 1+τ_i.

Этот момент записывается в столбец 5. Первой поступившей заявки соответствует момент T₁=0.

Для второй заявки T₂₌0 + 0,460=0,460.

Для третьей заявки имеем i=3,r₃=0,09; -lnr₃=2,41;τ₃=0,482

T₃₌0,460 + 0,482=0,942.

Итак, в 5 –ом столбце представлены случайные числа, образующие простейший поток заявок. Интервалы между ними, записанные в столбце 4, распределены по экспоненциальному закону.

Рассмотрим работу трехканальной СМО, которая обслуживает этот поток при детерминированном времени обслуживания t_обс=0,5 мин.

Дисциплина обслуживания – каналы загружаются в порядке номеров. Если все каналы заняты, то заявка получает отказ.

Первая заявка поступила в момент T₁=0. Все каналы свободны. Заявка поступает на обслуживание в первый канал.

Момент окончания обслуживания первой заявки T_k1=T₁ +t_обс=0 + 0,5=0,500.

Этот момент времени записывается в столбец 6. В счетчик обслуженных заявок (столбец 9) записывается единица.

При поступлении следующей заявки, по каждому каналу проверяется условие, что время поступления заявки больше времени освобождения канала.

 >T_k1, то да1<T_k1, то нет0<T_k1, то нет0<T_k1,то нет0

T_i<T_k2, то нет0T_i>T_k2, то да1T_i<T_k2, то нет0T_i  <T_k2, то нет0

 <T_k3,то нет0<T_k3, то нет0>T_k3, то да1<T_k3, то нет0

Так для второй заявки время поступления T2 =0,460.

Проверяются условия

Т₂>T_k10,460>0,500нет.

Т₂>T_k20,460>0да.

Таким образом, в момент поступления второй заявки первый канал занят обслуживанием, поэтому вторая заявка поступает во второй канал и будет им обслужена. В счётчик обслуженных заявок добавляется единица.

Для третьей заявки интервал τ₃=0,482 и Т3=0,460 + 0,482=0,942.

Проверяется условие T₃>T_k10,942>0,500да. Заявка поступает в первый канал. Новое значениеT_k1=0,500 + 0,942=1,442. Записывается единица в третью строку девятого столбца.

Для четвертой заявки τ₄=0,064. ВеличинаT₄₌T₃ + τ₄=0,942 + 0,064=1,006. Проверяем условие Т₄>T_k11.006>1.442нет

Т₄>T_k21.006>0.960да

Заявка поступает во второй канал. Новое значение T_k2=T₄ +t_обс=1,006 + 0,500=1,506. Единицу записываем в четвертую строку девятого столбца.

Для пятой заявки величина τ₅=0,278, а величина Т₅₌Т₄ + τ₅=1,006 + 0,278=1,284.

Проверяется условие

Т₅>T_k11,284>1,442нет

Т₅>T_k21,284>1,506нет

Т₅>T_k31,284>0да.

Заявка поступает в третий канал, Т_k3=1,284 + 0,506=1,784.

Для шестой заявки τ₆=0,222 и Т₆₌1,506. Проверяются условия

Т₆>T_k11,506>1,442да

Заявка поступает в первый канал. Новое значение T_k1=T₆+ 0,500=1,506 + 0,500=2,006.

Для седьмой заявки τ₇=0,054, и Т₇₌1,506 + 0,054=1,560. Проверяются условия

T₇>T_k11,560>2,006нет

T₇>T_k21,560>1,506да

Заявка поступает во второй канал. Новое значение T_k2=1,560 + 0,500=2,06.

Для восьмой заявки τ₈=0,130 и Т₈₌1,690. Проверяются условия

T₈>T_k11,690>2,006нет

T₈>T_k21,690>2,060нет

T₈>T_k31,690>1,784нет

Все каналы заняты, заявка получает отказ. Единичка записывается в счётчик отказов.

Дальнейшие расчеты проводятся аналогичным образом. Отметим, что обслуживание 20-ой заявки заканчивается в момент 4,148>4, поэтому эта заявка получает отказ.

Испытание прекращается (в столбце 5 таблицы записывается ''стоп''), если момент поступления заявки Т>4. В данном случае 4,002>4.

Из таблицы находим, что за время равное 4 минутам, поступило 20 заявок.

Из них обслужено в первой серии испытаний A1=12 заявок.

Рассмотренное испытание называют также ''реализацией'', имея в виду реализацию процесса функционирования системы. Результаты испытаний носят характер оценок. Чем больше количество испытаний, тем выше точность оценивания. Считается, что количество реализаций должно быть не менее 30. Каждое новое испытание осуществляется с новой последовательностью случайных чисел. Например, вместо первой строки таблицы равномерно распределенных случайных чисел берется вторая, третья и другие строки, т. е. вместо чисел 0,1; 0,09; 0,73 во второй реализации могут быть взяты числа 0,37; 0,54; 0,20 и т. д.

Предположим, что выполнено ещё пять испытаний, в результате которых получены оценки А₂=15; А₃=14;A₄=12;A₅=13 и А₆=15.

Тогда, в качестве оценки искомого математического ожидания числа обслуженных заявок принимается среднее значение

.

Это значение достаточно близко к величине, полученной аналитическим методом для СМО типа M/M/3

А=14,4.

Сравнение результатов имитационного моделирования системы типа M/D/3 с результатами аналитического моделирования для СМО типаM/M/3 показывает, что с использованием метода Эрланга могут быть решены задачи характерные для практически любых простых СМО.

Для сложных СМО основным методом исследования является метод статистических испытаний.

Таблица 2.2

Номер заявки i	Случайное число ri	- lnri	Время между двумя последовательными заявками τi=0.2 (-lnri)		Момент поступления заявки Тi=Ti-1+ τi		Момент Ti+0.5 окончания обслуживания			Счетчик
							1	2	3	обс.заяв	отказов
1	2	3	4		5		6	7	8	9	10
1					0		0,500			1
2	0,10	2,3	0,460		0,460			0,960		1
3	0,09	2,41	0,482		0,942		1,442			1
4	0,73	0,32	0,064		1,006			1,506		1
5	0,25	1,39	0,278		1,284				1,784	1
6	0,33	1,11	0,222		1,506		2,006			1
7	0,76	0,27	0,054		1,560			2,060		1
8	0,52	0,65	0,130		1,690						1
9	0,01	4,6	0,920		2,610		3,110			1
10	0,35	1,05	0,210		2,820			3,320		1
11	0,86	0,15	0,030		2,850				3,350	1
12	0,34	1,08	0,216		3,066						1
13	0,67	0,4	0,080		3,146		3,646			1
14	0,35	1,05	0,210		3,356			3,856		1
15	0,48	0,73	0,146		3,502				4,002		1
16	0,76	0,27	0,054		3,556						1
17	0,80	0,22	0,044		3,600						1
18	0,95	0,05	0,010		3,610						1
19	0,90	0,1	0,020		3,630						1
20	0,91	0,09	0,018		3,648		4,148				1
21	0,17	1,77	0,354		4,002						1
					(Стоп)				Итого	А1=12	8