Шестая модель

Модель определяет рентные платежи исходя из будущей стоимости.

Величина рентного платежа РМТ в соответствии с формулой FV=PMT ∙ S (n, i) равна

. (2.16)

Если FV=1, то

(2.17)

Графически схема показана на рис. 2.11.

Рис. 2.11. Определение рентного платежа исходя из будущей стоимости

Пример.

Агентство недвижимости заключает договор пожизненного содержания при условии перехода недвижимости в их собственность через n лет. Предполагается, что n=5 лет и что стоимость недвижимости составит 61 050 ед. Величина i=10%. Тогда величина ежегодных выплат владельцу составляет PMT=61 050 / 6,105=10 тыс. ед.

Тема 2.5. Имитационное моделирование на основе метода статистических испытаний Метод статистических испытаний (метод Монте-Карло)

Имитационное моделирование основывается на экспериментах с моделью реальной системы. Если реальная система находится под воздействием случайных факторов или имеет случайные характеристики, что для определения характеристик системы требуется выполнить статистические испытания.

Статистические испытания предполагают многократное повторение однотипных экспериментов. Каждый эксперимент осуществляется при определенном наборе случайных чисел.

Совокупность большого числа подобных испытаний обнаруживает статистическую устойчивость и может быть использована для количественной оценки системы.

Метод исследования, основанный на статистических испытаниях, получил название метода статистических испытаний или метода Монте-Карло.

Для реализации этого метода необходимо генерировать равномерно распределенные случайные числа.

На основе генерирования равномерно распределенных случайных чисел может решаться целый ряд задач.

Эти задачи разделяются на два класса:

• детерминированные;

• статистические.

Метод решения этих задач единый, универсальный, называемый методом статистических испытаний, методом статистического моделирования, методом Монте-Карло.

Датой рождения метода Монте-Карло принято считать 1949 год, когда появилась статья под названием “TheMonteCarloMethod”. Создателями этого метода считаются американские математики Дж.Нейман и С. Улама.

В России первые статьи о методе Монте-Карло были опубликованы в 1955-1956 годах.

Теоретически основа метода была известна давно. Однако практическое применение метод получил только благодаря появлению компьютеров, т.к. требует большого количества вычислений.

Примерами решения детерминированных задач являются:

• вычисление числа ;

• вычисление сложных интегралов, которые не могут быть определены аналитическим путём.

Примеры представлены на рис.2.12.

а) б)

Рис.2.12.Примеры вычисления числа(а) и площади сложной фигуры (б)

Задачи решаются следующим образом.

Проводятся эксперименты по попаданию точек на указанные фигуры

Если вероятность попадания точки в элементарный квадратик одинакова, то количество точек пропорционально площади.

При вычислении числа имеем соотношение

,

где S_к– площадь четверти круга;

S_кв– площадь квадрата со стороной равнойR;

N_к– количество точек, попавших в четверть круга;

N_кв– количество точек, попавших в квадрат.

Поскольку

,

,

то

или .

При вычислении интеграла, как площади сложной фигуры S_фимеем

.

Площадь квадрата S_кв известна. Определив количество точек, попавших на фигуруN_ф, и количество точек, попавших в квадратN_к, можно вычислить площадь фигурыS_ф

.

Метод Монте-Карло может применятся для решения задач оптимизации. В этом случае метод носит название метода случайного поиска.

Примерами использования метода Монте-Карло для решения статистических задач является статистическое моделирование, т. е. моделирование систем, на которые действуют входные статистические сигналы (например, входной поток заявок СМО) и характеристики состояния которых изменяются случайным образом. К числу таких систем относятся СМО.

При статистическом моделировании равномерно распределенные случайные числа могут подвергаться статистическим и динамическим преобразованиям.

К числу первых относится преобразование по методу обратных функций. Результатом этого преобразования является получение случайной величины, распределенной по определенному закону. Схема подобного преобразования с использованием обратной функции F^-1показана на рис.2.13.

Рис. 2.13.Схема преобразования с использованием обратной функции

Изменяя функцию распределения F, получаем случайные величины с различными законами распределения. Процесс получения обратных функцийF^-1представлен ниже.

Динамическое преобразование используется для получения случайных процессов с определенными характеристиками.

Схема преобразований имеет вид, показанный на рис.2.14.

Рис.2.14.Схема преобразования случайного процесса с использованием формирующего фильтра

В качестве формирующего фильтра, в частности, может быть использовано апериодическое звено с различными постоянными времени.