Механічні коливання та хвилі. . Глава 11. Хвильові процеси. .

Г 99 лава 11. Хвильові процеси

11.1. Пружні хвилі. Фазова швидкість.

Рис. 11.2.

Процес розповсюдження коливань у суцільному середовищі, періодичний у просторі і часі, отримав назву хвильового процесу. При розповсюдженні хвиль частки середовища не рухаються разом із хвилею, а тільки коливаються навколо своїх положень рівноваги. При цьому від частки до частки середовища передається лише стан коливального руху та його енергія. Тому основною властивістю усіх хвиль, незалежно від їхньої природи, є перенос енергії без переносу речовини.

У природі існують хвилі трьох типів пружні електромагнітні та поверхневі.

Пружними (або механічними) називають хвилі, які розповсюджуються у пружному середовищі. У залежності від напряму коливань часток речовини по відношенню до напряму розповсюдження хвильового процесу пружні хвилі розділяють на два типи: поздовжні та поперечні.

Пружна хвиля називається поздовжньою, якщо напрямок коливань часток середовища співпадає з напрямком розповсюдження хвилі, і поперечною, якщо коливання виконується перпендикулярно до цього напряму (див. рис. 11.1).

Поздовжні хвилі пов’язані з об’ємною деформацією середовища і через це можуть розповсюджуватись у будь-якій речовині, а поперечні хвилі пов’язані з деформацією зсуву, тому вони виникають і можуть розповсюджуватися тільки у твердих тілах.

Рис. 11.1.

При розповсюдженні гармонічних коливань хвиля буде також гармонічною. На рис. 11.2. представлений графік пружної гармонічної хвилі, яка розповсюджується вздовж осі Х з швидкістю V.

Я

100

к бачимо, графік хвильового процесу дуже схожий з графіком коливань, що зображений на рис. 9.1, але ці графіки абсолютно різні за фізичним змістом. Графік хвильового процесу дає залежність зміщення усіх часток середовища від відстані до джерела коливань у даний момент часу, а графік коливань - залежність зміщення даної частинки від положення рівноваги з часом.

Відстань між двома найближчими частинками, що здійснюють коливання в одній фазі називається довжиною хвилі . Довжина хвилі дорівнює відстані, на яку пошириться фаза коливань за період:

 = V Т , (11.1)

де V - швидкість хвилі.

Геометричне місце точок, до яких коливання розповсюдились в момент часу t, утворює так званий хвильовий фронт. Геометричне місце точок, що коливаються в одній і тій же фазі, називається хвильовою поверхнею. Хвильові поверхні можуть мати яку завгодно форму: площини, сфери, циліндра. Відповідно і хвилі у цьому разі називаються плоскими, сферичними, циліндричними. Хвильових поверхонь можна провести нескінченну кількість, а хвильовий фронт тільки один для даного моменту часу.

11.2. Рівняння біжучої хвилі.

Розглянемо плоску гармонічну хвилю, що рухається вздовж осі Х, при цьому величина зміщення У залежить тільки від координати X. Нехай амплітуда коливань частинок всюди однакова, тобто енергія хвилі не поглинається середовищем.

У площині x = 0 коливання частинки буде визначатись так:

У(0,t) = A cos(t + ₀) , (11.2)

де А - амплітуда хвилі, ₀ - початкова фаза коливання,  - циклічна частота коливання, t + ₀ - фаза хвилі, t - час.

Д

101

ля того, щоб знайти вид коливання частинок у площині, яка відповідає довільному значенню Х, необхідно врахувати, що хвилі з її швидкістю V потрібен деякий час  = X/V для того, щоб вона досягла точки Х. А це значить, що коливання в точці Х будуть запізнюватися на час  по відношенню до коливань частинок у площині Х = 0, тобто:

У(x,t) = A cos[(t - ) + ₀] = A cos[(t - x/v) + ₀] , (11.3)

Отримане рівняння і є рівнянням плоскої біжучої хвилі.

Оскільки довжина хвилі дорівнює:  = VT, то маємо:

,

Відношення 2/ отримало назву хвильового числа. Тоді, вищенаведений вираз може бути перетворений до вигляду:

, (11.4)

де k - хвильове число.

Врахувавши це визначення, рівняння біжучої хвилі набуде такого вигляду:

У(x,t) = A cos(t - kx + ₀) , (11.5)

З цього рівняння видно, що на відстані довжини хвилі зміна фази коливань дорівнює 2. А це значить, що хвильове число дорівнює зміні фази хвилі на одиничній відстані у напрямку розповсюдження хвилі.

Припустимо, що фаза хвилі з часом не змінюється, тобто:

[(t - ^x/_v) + ₀] = const , (11.6)

Враховуючи, що  = const та ₀ = const, з (11.6), маємо:

t - ^x/_v = const ,

Після диференціювання цього виразу отримаємо:

dt - ^dx/_V = 0 ,

Звідки:

, (11.7)

Т

102

аким чином, швидкість розповсюдження хвилі v у рівнянні біжучої хвилі - це швидкість розповсюдження відповідного значення фази хвилі. Тому швидкість v і отримала назву фазова швидкість.

З виразу (11.4) випливає, що V = /k. Тобто фазова швидкість гармонічних хвиль залежить від їх циклічної частоти. Це приводить до того, що пружні хвилі з різноманітними частотами розділяються на окремі хвилі з однаковою фазовою швидкістю. Таке явище отримало назву дисперсії хвиль.

А тепер візьмемо частинні похідні від зміщення У(x,t) у рівнянні (11.5) за координатою Х та часом t, і отримаємо:

Звідки маємо:

, (11.8)

Враховуючи, що згідно з (11.4) =Vk, з вищенаведеного виразу одержимо одновимірне диференціальне хвильове рівняння:

, (11.9)

Одержане диференціальне хвильове рівняння описує розповсюдження плоскої хвилі, що рухається вздовж осі Х.